こんにちは！高校数学の学習ブログへようこそ！
第1回では「降べきの順」と「3乗の展開公式」を勉強しましたね。
第2回となる今回のテーマは、高校数学で絶対に避けては通れない超・重要テクニック「たすき掛け（クロス掛け）」です！
「中学の因数分解は得意だったのに、高校に入った途端に分からなくなった…」
「組み合わせを探すのに時間がかかりすぎて嫌になる…」
そんな悩みを抱える人はとても多いです。でも安心してください！
たすき掛けはセンスではなく、「手順を決めて探すゲーム」です。コツさえ掴めば、パズルを解くようにスラスラ計算できるようになりますよ！
1. なぜ「たすき掛け」が必要なの？
中学で習った因数分解は、$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$ のように $x^2$ の前の数字（係数）が「1」 のものばかりでした。
しかし、高校数学では $3x^2 + 7x + 2$ のように $x^2$ の前に数字（2や3など）がつく式 が当たり前のように登場します。
このように $ax^2 + bx + c$ の形をした式を因数分解するために使う必殺技こそが、今回の「たすき掛け」です！
2. たすき掛けの基本原理と手順
たすき掛けのゴールは、展開の逆を計算することです。
$$(px + q)(rx + s) = prx^2 + (ps + qr)x + qs$$
この仕組みを応用して、以下の手順で数字の組み合わせを探していきます。
p q ---> qr| |
X X X +
r s ---> ps
|
↓ ↓ ↓
a=pr c=qs b=qr+ps
攻略の4ステップ
- かけて $a$（$x^2$ の係数）になる2つの数 を縦に並べる（$p$ と $r$）
- かけて $c$（定数項）になる2つの数 を縦に並べる（$q$ と $s$）
- 斜め（たすき状）にかけ算 して、出た答えを足し合わせる
- 足した結果が $b$（$x$ の係数）に一致したら成功！ 横に並べてカッコに入れる
言葉だけだとピンとこないと思うので、実際の例題で試してみましょう！
3. 【実践】例題で覚えるたすき掛け
問題：次の式を因数分解しなさい。
$$3x^2 + 7x + 2$$
ステップ1＆2：かけて「3」になる数と、かけて「2」になる数を探す
- かけて $3$ になるペア：$1$ と $3$
- かけて $2$ になるペア：$1$ と $2$（または $2$ と $1$）
ステップ3：斜めに掛け算して試してみる
【失敗パターン】
1 \ / 1 ---> 3 × 1 = 3
X
3 / \ 2 ---> 1 × 2 = 2
-------------------------------
3 2 合計: 3 + 2 = 5 (× 7にならない！)
足して「$5$」になってしまいました。目標は「$+7$」なので、これは失敗です！
【成功パターン】
右側の「$1$ と $2$」の上下をひっくり返してみましょう。
1 \ / 2 ---> 3 × 2 = 6
X
3 / \ 1 ---> 1 × 1 = 1
-------------------------------
3 2 合計: 6 + 1 = 7 (◯ 見事ピッタリ！)
斜めに計算して足したら「$+7$」になりました！大成功です！
ステップ4：横に見てカッコに入れる
成功した配置を 「横に並べて」（$x$ を補って）カッコに入れます。
- 上の段：$1$ と $2$ $\to (1x + 2) = (x + 2)$
- 下の段：$3$ と $1$ $\to (3x + 1)$
こたえ：
$$(x + 2)(3x + 1)$$
※ $(3x + 1)(x + 2)$ と順番が逆になっていても正解です！
4. マイナスが入ったときの鉄則！
定数項や $x$ の係数に「マイナス」が入ってくると、少し迷いやすくなります。
でも、次のルールを知っていれば怖くありません！
マイナス処理の極意
- 定数項（後ろ）がマイナス のとき $\to$ かける2数の 符号が違う（＋と－）
- 定数項（後ろ）がプラスで、$x$ の係数（真ん中）がマイナス のとき $\to$ かける2数は 両方マイナス（－と－）
【計算例】マイナスを含む問題
問題：$2x^2 – 5x – 3$ を因数分解しなさい。
- かけて $2$ になるペア：$1$ と $2$
- かけて $-3$ になるペア：$+1$ と $-3$（または $-1$ と $+3$）
目標は、斜めに足して 「$-5$」 にすることです。
1 \ / -3 ---> 2 × (-3) = -6
X
2 / \ +1 ---> 1 × (+1) = +1
-----------------------------------
2 -3 合計: -6 + 1 = -5 (◯ ピッタリ！)
横に並べてカッコに入れると…
こたえ：
$$(x – 3)(2x + 1)$$
5. 練習問題にチャレンジ！
自分の手で紙に「たすき」を書いて解いてみましょう！
【問1】
$$2x^2 + 5x + 3$$
【問2】
$$4x^2 – 8x + 3$$
【解答・解説】
【問1の答え】
- かけて $2 \to 1$ と $2$
- かけて $3 \to 1$ と $3$
1 \ / 1 ---> 2 × 1 = 2
X
2 / \ 3 ---> 1 × 3 = 3
-------------------------------
2 3 合計: 2 + 3 = 5
$\to$ 正解：$(x + 1)(2x + 3)$
【問2の答え】
真ん中がマイナスで後ろがプラスなので、両方マイナスのペアを考えます。
- かけて $4 \to 2$ と $2$
- かけて $3 \to -1$ と $-3$
2 \ / -1 ---> 2 × (-1) = -2
X
2 / \ -3 ---> 2 × (-3) = -6
----------------------------------
4 +3 合計: -2 + (-6) = -8
$\to$ 正解：$(2x – 1)(2x – 3)$
まとめ
今日のポイントをおさらいしましょう！
- $x^2$ の前に数字がついたら「たすき掛け」を使う！
- かけて左端、かけて右端になる数を並べて 斜めにかける！
- 足して真ん中の数字になったら、横に見てカッコに入れる！
- 慣れるまでは、失敗しても気にせず 何度も書いて試す のが1番の近道！
たすき掛けは、スポーツや楽器の練習と同じで「慣れ」がすべてです。最初は時間がかかっても、10問〜20問と解いていくうちに頭の中で計算できるようになりますよ！
次回は、一見複雑に見える「置換（置き換え）や最低次数の文字に着目する因数分解」をスッキリ解くコツを解説します。お楽しみに！
コメント