正弦定理ってどんなときに使えばいいの？」
「公式の中に出てくる『外接円の半径 $R$』って何のこと？」
三角比（$\sin, \cos, \tan$）の基本を学んだあとは、いよいよ「実際の三角形の辺の長さや角の大きさを求める」実践フェーズに入ります！
その主役となるのが、今回学習する「正弦定理（せいげんていり）」です。
正弦定理を使えば、三角形のパーツ（辺や角）がいくつか分かっているだけで、直接測れない辺の長さや角度を簡単に計算できるようになります。
今回は、正弦定理の公式の形から、使うべきタイミング（見分け方）、そして実際の計算手順まで丁寧に解説します！
1. 正弦定理（せいげんていり）の公式
$\triangle \text{ABC}$ の $3$ つの角の大きさを $A, B, C$、それぞれの向かい側にある辺の長さを $a, b, c$ とします。
また、$\triangle \text{ABC}$ に外接する円（外接円）の半径を $R$ とします。
A
/ \
c / \ b
/ \
B-------C
a
このとき、次の関係式が成り立ちます。
💡 正弦定理の公式
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
【言葉でのイメージ】
「（向かい合う辺の長さ）$\div$（その角の $\sin$）の割合は、どの組でも同じで、外接円の直径（$2R$）に等しい！」
※分子と分母をひっくり返して $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ と表すこともあります。
2. 正弦定理はいつ使う？（一瞬で見抜く見分け方）
図形問題で「正弦定理」と「余弦定理」のどちらを使うべきか迷ったときは、問題文の与えられた条件を確認しましょう。
正弦定理を使う典型パターンは次の2つのどちらかです！
パターン①：「向かい合う角と辺のペア」が分かっているとき
- 例：角 $A$ と辺 $a$ の両方の値が判明している（または求めたい）とき。
- 対角と対辺の「クロス関係」が見えたら正弦定理の出番です！
パターン②問題文に「外接円の半径 $R$」が登場したとき
- 「外接円の半径 $R$ を求めよ」「外接円の半径 $R = 5$ のとき〜」など、「外接円」「$R$」というキーワードが出たら100% 正弦定理を使います！
3. 【実践】例題で覚える正弦定理の使い方
具体例を使って、実際の解き方の流れを確認しましょう。
【例題1】辺の長さを求める問題
$\triangle \text{ABC}$ において、$A = 45^\circ, B = 60^\circ, a = 4$ のとき、辺 $b$ の長さを求めよ。
解答・解説
- 問題の整理：
- 向かい合うペア：角 $A = 45^\circ$ と 辺 $a = 4$
- 求めるもの：角 $B = 60^\circ$ に対する 辺 $b$
- 「向かい合うペア」が揃っているので正弦定理を使います！
- 正弦定理に代入：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$$$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$$
- 計算：$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、両辺に $\sin 60^\circ$ をかけると：$$b = \frac{4}{\sin 45^\circ} \times \sin 60^\circ = 4 \div \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$$$b = 4 \times \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{2\sqrt{6}}$$
【答え】 $b = 2\sqrt{6}$
【例題2】外接円の半径 R を求める問題
$\triangle \text{ABC}$ において、$A = 120^\circ, a = 6$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。
解答・解説
- 問題の整理：
- 角 $A = 120^\circ$（鈍角）と 辺 $a = 6$ のペア
- 求めるもの：外接円の半径 $R$
- 正弦定理（$= 2R$ の部分）に代入：$$\frac{a}{\sin A} = 2R$$$$\frac{6}{\sin 120^\circ} = 2R$$
- 計算：前回の補角の公式より、$\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。$$2R = 6 \div \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$両辺を $2$ で割って：$$R = \mathbf{2\sqrt{3}}$$
【答え】 $R = 2\sqrt{3}$
⚠️ 注意！
正弦定理で計算して出てくるのは「直径（$2R$）」です！ 最後に $2$ で割って半径 $R$ にするのを絶対に忘れないようにしましょう。
4. なぜ正弦定理が成り立つの？（簡単な証明）
「なぜ外接円の半径 $R$ や $\sin$ と関係があるの？」と気になる人のために、鋭角の場合の証明をサクッと確認しておきましょう。
A
/ \
/ \ O (中心, 半径R)
/ \
B-------C
- $\triangle \text{ABC}$ の外接円を描き、点 $\text{B}$ から円の中心 $\text{O}$ を通る直線（直径）を引き、円との反対側の交点を $\text{A}’$ とします。
- 線分 $\text{A}’\text{B}$ は直径なので、$\text{A}’\text{B} = 2R$ です。
- 半円の孤に対する円周角の定理より、$\angle \text{A}’\text{CB} = 90^\circ$（直角）になります。
- また、同じ弧 $\text{BC}$ に対する円周角は等しいので、$\angle \text{A} = \angle \text{A}’$ です。
- 直角三角形 $\triangle \text{A}’\text{CB}$ において、三角比の定義を使うと：$$\sin A = \sin A’ = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{a}{2R}$$
- この式を変形すると：$$2R = \frac{a}{\sin A}$$
同様に $\frac{b}{\sin B}$ や $\frac{c}{\sin C}$ についても描けば、すべて $2R$ に等しくなることが証明できます！
5. まとめ
- 正弦定理の公式$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
- 使うタイミング
- 向かい合う「角と辺のペア」が分かっているとき
- 外接円の半径 $R$ が問題文に出てきたとき
- 計算の注意点
- 正弦定理で求まるのは $2R$（直径） なので、半径 $R$ を答えるときは最後に $2$ で割る！
次回は、正弦定理と並ぶ図形計算のもう一つの主役「第24回：余弦定理（よげんていり）の公式と使い方」を解説します！
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