みなさんこんにちは！高校数学の解説連載、第12回です。
前回の記事では、2次関数の式を「平方完成」して頂点の座標を求める方法を学びました。今回はいよいよ、高校数学Ⅰの最重要テーマの1つである「2次関数の最大値・最小値」に入っていきます！
「最大値や最小値を求める」と聞くと難しそうに感じるかもしれませんが、手順（アルゴリズム）通りにグラフを描いて考えれば絶対に間違えなくなります。基本をしっかりマスターしていきましょう。
1. 最大値・最小値の考え方（定義域がない場合）
まず、$x$ の範囲（定義域）に特別な制限がない場合の基本ルールを整理しましょう。
2次関数 $y = a(x – p)^2 + q$ のグラフを考えると：
- $a > 0$（下に凸のグラフ）の場合
- 一番低い場所は頂点です。したがって、最小値は $q$（$x = p$ のとき）となります。
- 上にはいくらでも伸びていくため、最大値はありません（「なし」と答えます）。
- $a < 0$（上に凸のグラフ）の場合
- 一番高い場所は頂点です。したがって、最大値は $q$（$x = p$ のとき）となります。
- 下にはいくらでも伸びていくため、最小値はありません（「なし」と答えます）。
ポイント：
「最大値・最小値」として答える値は $y$ の値（縦軸の値）です。「$x = \dots$ で最大値 $\dots$」のように、$x$ の値もセットで書くのが基本マナーです。
2. 定義域（$x$の範囲）がある場合の考え方
テストでよく出題されるのは、$x$ に範囲（定義域 $a \leqq x \leqq b$）がついた問題です。
定義域がある場合は、グラフの一部だけを「切り取って」考えます。切り取られたグラフの中で：
- 一番高い位置にある点の $y$ 座標 $\rightarrow$ 最大値
- 一番低い位置にある点の $y$ 座標 $\rightarrow$ 最小値
解く際の手順（3つのステップ）を覚えましょう！
1.式を平方完成する:頂点の座標を把握する。
与えられた2次関数の式を $y = a(x – p)^2 + q$ の形に変形し、頂点 $(p, q)$ と軸の方程式 $x = p$ を求めます。
2.定義域の範囲で簡易的なグラフを描く:頂点と両端の点に注目。
$x$ の範囲（定義域）を意識して、放物線を大まかに描きます。このとき、頂点が定義域の内側にあるか・外側にあるかをはっきりさせることが重要です。
3.グラフの「一番高い点」と「一番低い点」を読み取る:x と y の値をセットで答える。
グラフ上で最も高い点（最大値）と最も低い点（最小値）の $y$ 座標を計算し、「$x = \dots$ のとき、最大値（最小値） $\dots$」と解答します。
3. 例題にチャレンジしてみよう！
実際に問題を解いて、解き方の流れを確認しましょう。
【例題】
次の2次関数の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの $x$ の値を求めなさい。
$$y = x^2 – 4x + 1 \quad (1 \leqq x \leqq 4)$$
【解説】
ステップ1：平方完成する
$$y = (x – 2)^2 – 4 + 1$$
$$y = (x – 2)^2 – 3$$
これにより、グラフは下に凸で、頂点は $(2, -3)$ であることがわかります。
ステップ2・3：定義域における $y$ の値を計算する
定義域の端点（$x = 1, 4$）と頂点（$x = 2$）における $y$ の値をそれぞれ求めます。
- $x = 1$ のとき： $y = 1^2 – 4(1) + 1 = -2$
- $x = 2$（頂点）のとき： $y = -3$
- $x = 4$ のとき： $y = 4^2 – 4(4) + 1 = 1$
これらを比較すると、グラフ上で：
- 一番高い場所は $x = 4$ のとき（$y = 1$）
- 一番低い場所は $x = 2$ のとき（$y = -3$）
であることがわかります。
【解答】
- $x = 4$ のとき、最大値 $1$
- $x = 2$ のとき、最小値 $-3$
4. まとめとよくある失敗パターン
覚えるべきまとめ
- 平方完成して頂点と軸を求める。
- グラフを簡単に描いて、一番高い点と一番低い点を目視で確認する。
- 頂点が定義域の「内側」にあれば、そこが最大値または最小値になる。
よくあるミスの原因！
- 端点（$x = 1, 4$）だけで計算してしまう：頂点（$x = 2$）が定義域に含まれていることを見落とし、端点だけで判断してしまうミスが多発します。必ず「頂点」が範囲内にあるかをチェックしましょう。
- $x$ の値と $y$ の値を混同する：最大値・最小値は $y$ の値です。答えの書き方に注意しましょう。
2次関数の最大値・最小値を考える際、「頂点が定義域（$x$ の範囲）の内側にあるか、外側にあるか」が最大のポイントです。
頂点が定義域の外側にある場合、放物線の「一番底（または一番高い場所）」を使えないため、定義域の端（両端の $x$ の値）で最大・最小が決まります。
例題
次の2次関数の最大値と最小値を求めなさい。また、そのときの $x$ の値を求めなさい。
$$y = 2x^2 – 8x + 3 \quad (3 \leqq x \leqq 5)$$
解説
ステップ 1：平方完成して頂点を求める
まずは関数の式を平方完成し、グラフの頂点と軸を確認します。
- $x$ の項を $x^2$ の係数 $2$ でくくります：$$y = 2(x^2 – 4x) + 3$$
- $(x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4$ を利用して変形します：$$y = 2\{(x – 2)^2 – 4\} + 3$$
- 括弧を展開して整理します：$$y = 2(x – 2)^2 – 8 + 3$$$$y = 2(x – 2)^2 – 5$$
- グラフの形：下に凸の放物線（$x^2$ の係数 $2 > 0$）
- 頂点：点 $(2, -5)$
- 軸：直線 $x = 2$
ステップ 2：定義域と頂点（軸）の位置関係をチェックする
- 定義域：$3 \leqq x \leqq 5$
- 軸の位置：$x = 2$
軸（$x = 2$）は、定義域（$3 \leqq x \leqq 5$）の左側の外側にあります。
ステップ 3：グラフの動き（単調性）を確認する
下に凸の放物線は、軸（$x = 2$）より右側では「$x$ が増えるほど $y$ も増える（単調増加）」という動きをします。
定義域 $3 \leqq x \leqq 5$ は完全に軸の右側にあるため、この範囲内ではグラフは右上がりになります。
ステップ 4：端点の $y$ の値を計算する
定義域の両端における $y$ の値を求めます。
- $x = 3$ のとき：$$y = 2(3)^2 – 8(3) + 3 = 18 – 24 + 3 = -3$$
- $x = 5$ のとき：$$y = 2(5)^2 – 8(5) + 3 = 50 – 40 + 3 = 13$$
ステップ 5：結論を出す
グラフが右上がり（単調増加）であるため：
- 最小値：定義域の左端 $x = 3$ で最も小さくなります。
- 最大値：定義域の右端 $x = 5$ で最も大きくなります。
【答え】
- $x = 5$ のとき、最大値 $13$
- $x = 3$ のとき、最小値 $-3$
ポイントまとめ
- 頂点が定義域の内側にある場合
- 頂点で最小値（下に凸）または最大値（上に凸）をとります。
- 頂点が定義域の外側にある場合
- 定義域内ではグラフが増加し続けるか、減少し続けるか（単調変化）になります。
- そのため、必ず定義域の両端（$x = a, b$）で最大値・最小値をそれぞれとることになります。
次回（第13回）は、「2次関数の最大・最小（応用編：軸や範囲が動く場合）」を扱います。定期テストや大学受験で差がつく大一番のテーマですので、今回の基本編をしっかり復習しておいてくださいね！
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