中学で習った 『底辺×高さ÷2』 以外の三角形の面積公式って何があるの？」
「内接円の半径 $r$ や四角形の面積の求め方が複雑で覚えられない…」
高校数学Ⅰ「図形と計量」のラストを飾るテーマは「面積の計算と応用」です！
三角比（$\sin$）を使うと、高さが直接分からなくても「2つの辺の長さとその間の角」だけで三角形の面積を一瞬で求めることができます。
さらに、この面積公式を応用することで、「内接円の半径 $r$」や「円に内接する四角形の面積」、さらには「ヘロンの公式」まで一気にマスターできるようになります。
今回は、公式の仕組みから実際の入試・テスト頻出問題の解法パターンまで分かりやすく徹底解説します！
1. 三角形の面積公式（三角比を使う基本形）
$\triangle \text{ABC}$ の $2$ つの辺の長さを $b, c$、その間の角を $A$ としたとき、面積 $S$ は次の公式で求まります。
💡 三角形の面積公式
$$S = \frac{1}{2} b c \sin A$$
（※他の 2 辺と間の角でも同様： $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} c a \sin B$）
【言葉でのイメージ】
「（2つの辺の長さの積）$\times$（間の角の $\sin$）$\div 2$」
【なぜ成り立つの？】直感的な証明
中学数学の「底辺 $\times$ 高さ $\div 2$」を思い出してみましょう。
A
/|\
c / | \ b
/ |h \
B---+---C
a
頂点 $\text{A}$ から底辺 $\text{BC}$ に下ろした垂線の長さを $h$（高さ）とすると、面積は $S = \frac{1}{2} a h$ です。
ここで、直角三角形に注目すると、高さ $h$ は三角比の定義より $h = c \sin B$ と表せます。
これを面積の式に代入すると：
$$S = \frac{1}{2} a (c \sin B) = \frac{1}{2} a c \sin B$$
このように、「高さ $h$ を $\sin$ で置き換えただけ」の非常にシンプルな公式です！
2. 応用①：内接円の半径 $r$ を求める公式
三角形の 3 辺の長さ $a, b, c$ と、内接円の半径 $r$ の間には非常に重要な関係があります。
💡 内接円の半径 $r$ と面積 $S$ の関係
$$S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$$
【仕組み】三角形を 3 つに分割する！
内接円の中心（内心 $\text{I}$）から各頂点 $\text{A, B, C}$ に線を引くと、大きな $\triangle \text{ABC}$ は 3つの小さな三角形（$\triangle \text{IBC}, \triangle \text{ICA}, \triangle \text{IAB}$）に分割されます。
A
/ \
/ \
/ I \ (内接円の中心)
B-------C
それぞれの底辺は $a, b, c$ で、高さはすべて内接円の半径 $r$ になります。
- $\triangle \text{IBC}$ の面積 $= \frac{1}{2} a r$
- $\triangle \text{ICA}$ の面積 $= \frac{1}{2} b r$
- $\triangle \text{IAB}$ の面積 $= \frac{1}{2} c r$
これら 3 つを足し合わせると：
$$S = \frac{1}{2} a r + \frac{1}{2} b r + \frac{1}{2} c r = \frac{1}{2} r (a + b + c)$$
🔥 内接円の半径 $r$ を求める手順
- まず普通に三角形の面積 $S$ を求める（$\frac{1}{2}bc\sin A$ や余弦定理を利用）。
- 上の公式 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ に $S$ と $a,b,c$ を代入して $r$ について解く！
3. 応用②：ヘロンの公式（3辺の長さから一発で面積を出す）
3つの辺の長さ $a, b, c$ がすべて整数で与えられている場合、角度を経由せずに一発で面積を計算できる超便利公式が「ヘロンの公式」です。
💡 ヘロンの公式
$s = \frac{a + b + c}{2}$ とおくと、
$$S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}$$
※ $s$ は「周の長さの半分」を表します。ルートの中身がマイナスにならないよう注意しましょう。
4. 応用③：四角形の面積の求め方
定期テストや共通テストで差がつく「四角形の面積」は、主に次の2パターンで攻略します。
パターン1：対角線で 2 つの三角形に分割する（円に内接する四角形）
円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ では、対角線を1本引いて2つの三角形に分割します。
円に内接する四角形の性質「向かい合う角の和は $180^\circ$（$\angle \text{A} + \angle \text{C} = 180^\circ$）」を利用すると、$\sin C = \sin(180^\circ – A) = \sin A$ となるため、両方の三角形の面積を一度に計算できます。
パターン2：2本の対角線と挟む角から求める
対角線の長さが $x, y$ で、そのなす角が $\theta$ である四角形の面積 $S$ は、次の公式で求まります。
$$S = \frac{1}{2} x y \sin \theta$$
5. 【実践】例題で解き方を押さえる
【例題1】3辺から面積 $S$ と内接円の半径 $r$ を求める
$\triangle \text{ABC}$ において、$a = 7, b = 8, c = 9$ のとき、次のものを求めよ。
(1) $\triangle \text{ABC}$ の面積 $S$
(2) 内接円の半径 $r$
解答・解説
(1) 面積 $S$ を求める
今回はヘロンの公式を使ってみましょう。
$s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$
ヘロンの公式に代入します：
$$S = \sqrt{12(12 – 7)(12 – 8)(12 – 9)}$$
$$S = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{12 \times 5 \times 12} = 12\sqrt{5}$$
【答え】 $S = 12\sqrt{5}$
※余弦定理で $\cos A = \frac{8^2 + 9^2 – 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{2}{3}$ を求め、$\sin A = \sqrt{1 – (\frac{2}{3})^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ と変形してから $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 12\sqrt{5}$ と出してもOKです！
(2) 内接円の半径 $r$ を求める
公式 $S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$ に $S = 12\sqrt{5}$ と $a=7, b=8, c=9$ を代入します。
$$12\sqrt{5} = \frac{1}{2} r (7 + 8 + 9)$$
$$12\sqrt{5} = \frac{1}{2} r (24)$$
$$12\sqrt{5} = 12 r \quad \implies \quad r = \mathbf{\sqrt{5}}$$
【答え】 $r = \sqrt{5}$
【例題2】円に内接する四角形の面積
円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ において、$\text{AB} = 3, \text{BC} = 2, \text{CD} = 3, \text{DA} = 5$ のとき、四角形 $\text{ABCD}$ の面積 $S$ を求めよ。
解答・解説
A ----- B
/ \
D --------- C
- 対角線 $\text{BD}$ を引き、$\triangle \text{ABD}$ と $\triangle \text{BCD}$ に分割する。
- $\angle \text{A} = \theta$ とおくと、向かい合う角 $\angle \text{C} = 180^\circ – \theta$ となる。
- $\triangle \text{ABD}$ と $\triangle \text{BCD}$ それぞれで余弦定理を使い、$\text{BD}^2$ を2通りで表す：
- $\triangle \text{ABD}$ より： $\text{BD}^2 = 3^2 + 5^2 – 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos \theta = 34 – 30 \cos \theta$
- $\triangle \text{BCD}$ より： $\text{BD}^2 = 2^2 + 3^2 – 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos (180^\circ – \theta) = 13 + 12 \cos \theta$
- 2つの式をイコールで結んで $\cos \theta$ を求める：$$34 – 30 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$$$$42 \cos \theta = 21 \quad \implies \quad \cos \theta = \frac{1}{2}$$よって $\theta = 60^\circ$ とわかります（$\sin \theta = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$）。
- 2つの三角形の面積を足し合わせる：
- $S_1 (\triangle \text{ABD}) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = \frac{15\sqrt{3}}{4}$
- $S_2 (\triangle \text{BCD}) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin 120^\circ = \frac{6\sqrt{3}}{4}$
- 全体の面積 $S = S_1 + S_2 = \frac{21\sqrt{3}}{4}$
【答え】 $S = \frac{21\sqrt{3}}{4}$
6. まとめ
- 三角形の基本面積公式$$S = \frac{1}{2} b c \sin A$$
- 内接円の半径 $r$ の公式$$S = \frac{1}{2} r (a + b + c)$$
- ヘロンの公式（3辺が整数のときに威力を発揮）$$S = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} \quad \left(s = \frac{a+b+c}{2}\right)$$
- 円に内接する四角形の面積は、対角線で 2 つに分けて $\angle \text{C} = 180^\circ – \angle \text{A}$ の関係を利用する！
これにて第4章「図形と計量（三角比）」の全解説が終了です！お疲れ様でした！
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