【数Ⅰ：第31回】場合の数と樹形図・積の法則・和の法則を分かりやすく解説！

高校数学

2026.08.30

「データの分析」単元、お疲れ様でした！

今回からは新しい章「場合の数と確率」へと突入します！

その記念すべき第1回（全体の第31回）テーマは、全ての土台となる「場合の数（ばあいのすう）の基本原則」です。

「樹形図っていつまで書けばいいの？」

「積の法則（かけ算）と和の法則（たし算）の使い分けがごちゃごちゃになる…」

そんな悩みを一発で解決できるように、解法の判断基準から具体例まで分かりやすく徹底解説します！

1. 「場合の数」とは？
2. もれなく数え上げる基本！「樹形図」の書き方
1. 樹形図を書くときのコツ
3. たし算とかけ算の使い分け！「和の法則」と「積の法則」
1. ① 和の法則（たし算を使うとき）
2. ② 積の法則（かけ算を使うとき）
4. 【実践例題】和の法則と積の法則を使って解く
1. 【例題】約数の個数を求める
  1. 解答・解説
5. まとめ

1. 「場合の数」とは？

ある事柄が起こり得る「通りの数（パターンの総数）」のことを場合の数と呼びます。

例えば、「コインを1回投げたときの表裏の出方」は「表・裏」の 2通り です。

場合の数を求める際の大原則は、「もれなく、重なりなく（重複なく）」数え上げることです。そのために使う最強のツールが「樹形図（じゅけいず）」と「辞書式配列」です。

2. もれなく数え上げる基本！「樹形図」の書き方

データやパターンが少ないときは、頭の中で計算しようとせず樹形図を描くのが最も確実です。

【例】A, B, C の3人が一列に並ぶ並び方

  ┌─ B ─ C  (A-B-C)
A ┼
  └─ C ─ B  (A-C-B)

  ┌─ A ─ C  (B-A-C)
B ┼
  └─ C ─ A  (B-C-A)

  ┌─ A ─ B  (C-A-B)
C ┼
  └─ B ─ A  (C-B-A)

合計：6通り

樹形図を書くときのコツ

規則性を守る：アルファベット順や数字の小さい順（辞書式）に書いていく。
対称性を利用する：Aから始まる並び方が2通りだと分かれば、BやCから始まる場合も同じ2通りずつになると予測できる（$2 \times 3 = 6$ 通り）。

3. たし算とかけ算の使い分け！「和の法則」と「積の法則」

場合の数で全員が一度はつまずくのが「足すのか？掛けるのか？」という疑問です。

以下のルールを絶対に覚えておきましょう！

① 和の法則（たし算を使うとき）

【キーワード】「同時に起こらない（A または B）」

2つの事柄 A と B が同時に起こることがないとき、Aの起こり方が $a$ 通り、Bの起こり方が $b$ 通りあれば、A または B が起こる場合の数は $(a + b)$ 通り。

【具体例】

大中小3つのサイコロを投げて、目の和が「5」または「16」になる場合。

目の和が5になる出方：6通り
目の和が16になる出方：6通り
目の和が「5」と「16」に同時に鳴ることはあり得ない $\implies 6 + 6 = \mathbf{12 \text{通り}}$

② 積の法則（かけ算を使うとき）

【キーワード】「連続して起こる／セットで考える（A そして B）」

事柄 A の起こり方が $a$ 通りあり、そのそれぞれに対して事柄 B の起こり方が $b$ 通りあるとき、A と B がともに（続けて）起こる場合の数は $(a \times b)$ 通り。

【具体例】

大中小2つのサイコロ（大・小）を同時に投げるとき。

大きいサイコロの目の出方：6通り
そのそれぞれに対して、小さいサイコロの目の出方：6通り
連続・セットで考える $\implies 6 \times 6 = \mathbf{36 \text{通り}}$

4. 【実践例題】和の法則と積の法則を使って解く

【例題】約数の個数を求める

$72$ の正の約数は全部で何個あるか求めよ。

解答・解説

「約数を全部書き出す」のは大変ですが、素因数分解と積の法則を使うと一瞬で解けます！

72 を素因数分解する$$72 = 2^3 \times 3^2$$
それぞれの素因数の選び方を考える
- $2$ の選び方： $2^0(=1), 2^1(=2), 2^2(=4), 2^3(=8)$ の 4通り
- $3$ の選び方： $3^0(=1), 3^1(=3), 3^2(=9)$ の 3通り
積の法則を適用する$2$ の選び方（4通り）のそれぞれに対して、$3$ の選び方（3通り）が存在するので、セットで掛け合わせます。$$\text{約数の個数} = 4 \times 3 = \mathbf{12 \text{個}}$$

【答え】 12個

5. まとめ

樹形図：もれなく、重複なく数え上げるための基本図（規則正しく書く！）。
和の法則（たし算）：同時に起こらない別々のパターン（「A または B」）。
積の法則（かけ算）：一連の流れやセットで起こるパターン（「A そして B」）。

次回は、計算を圧倒的に楽にする順列の記号「第32回：順列 $P$（パーミュテーション）と階乗 $!$ の計算」を解説します！

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