「円の中で線分が交差しているけれど、長さの計算はどうやるんだっけ？」
「方べきの定理ⅠとⅡ、接線パターンで式の形が変わって覚えにくい……」
高校数学A「図形の性質」の第41回（第6回）は、円と線分の長さに関する超強力な計算ツール「方べきの定理（Power of a Point Theorem）」を解説します！
交点が「円の内部」にあっても「円の外部」にあっても、あるいは「接線」になっても、「交点から各頂点への長さの掛け算」というたった1つの統一ルールで攻略できます！
1. 方べきの定理の 3 つの基本パターン
円と 2 本の直線の交点を $\text{P}$ としたとき、交点 $\text{P}$ の位置によって次の 3 つの表し方があります。
💡 【方べきの定理の公式】
- パターンⅠ（円の内部で交わる 2 弦）：
円の 2 つの弦 $\text{AB}, \text{CD}$ の交点（または延長の交点）を $\text{P}$ とすると：
$$\mathbf{PA \cdot PB = PC \cdot PD}$$- パターンⅡ（円の外部で交わる 2 本の割線）：
円の外部の点 $\text{P}$ を通る 2 直線が円と交わる点をそれぞれ $\text{A}, \text{B}$ および $\text{C}, \text{D}$ とすると：
$$\mathbf{PA \cdot PB = PC \cdot PD}$$- パターンⅢ（割線と接線）：
円の外部の点 $\text{P}$ から円に引いた接線の接点を $\text{T}$、割線と円の交点を $\text{A}, \text{B}$ とすると：
$$\mathbf{PA \cdot PB = PT^2}$$
🔍 式を丸暗記しない！絶対間違えない覚え方
どのパターンも、本質は「交点 $\text{P}$ から出発して、円との交点までの距離を掛け合わせる」だけです！
- 直線 1 本目：$\text{P} \rightarrow \text{A}$ と $\text{P} \rightarrow \text{B}$ の積 $\rightarrow \mathbf{PA \cdot PB}$
- 直線 2 本目：$\text{P} \rightarrow \text{C}$ と $\text{P} \rightarrow \text{D}$ の積 $\rightarrow \mathbf{PC \cdot PD}$
- 接線の場合：$\text{C}$ と $\text{D}$ が重ね合わさって接点 $\text{T}$ になるので $\mathbf{PT \cdot PT = PT^2}$
2. なぜ成り立つ？（図形的証明のアプローチ）
方べきの定理の根底にあるのは「三角形の相似」です。
- パターンⅠ（内部交点）： 対頂角が等しく、弧に対する円周角が等しいため $\triangle \text{PAC} \sim \triangle \text{PDB}$ となり、$\text{PA} : \text{PD} = \text{PC} : \text{PB} \implies \text{PA} \cdot \text{PB} = \text{PC} \cdot \text{PD}$。
- パターンⅢ（接線）： 接弦定理より $\angle \text{PTA} = \angle \text{PBT}$、$\angle \text{P}$ が共通なので $\triangle \text{PTA} \sim \triangle \text{PBT}$ となり、$\text{PT} : \text{PB} = \text{PA} : \text{PT} \implies \text{PA} \cdot \text{PB} = \text{PT}^2$。
3. 【実践例題】方べきの定理の演習
【例題1】内部での交差（パターンⅠ）
円の内部の点 $\text{P}$ で交わる 2 弦 $\text{AB}, \text{CD}$ がある。
$\text{PA} = 3$, $\text{PB} = 6$, $\text{PC} = 2$ のとき、線分 $\text{PD}$ の長さを求めよ。 解答・解説を表示する
1. 方べきの定理（パターンⅠ）を適用する
交点 $\text{P}$ を基準として立式します：
$$\text{PA} \cdot \text{PB} = \text{PC} \cdot \text{PD}$$
2. 与えられた値を代入する
$$3 \cdot 6 = 2 \cdot \text{PD}$$
$$18 = 2 \cdot \text{PD} \implies \text{PD} = 9$$
【答え】 $\mathbf{PD = 9}$
【例題2】接線と割線（パターンⅢ・注意点あり）
円の外部の点 $\text{P}$ から円に引いた接線の接点を $\text{T}$ とする。
点 $\text{P}$ を通る割線が円と交わる点を $\text{A}, \text{B}$ とし、$\text{PT} = 6$, $\text{PA} = 4$ とする。
線分 $\text{AB}$ の長さを求めよ。 解答・解説を表示する
1. 全長 $\text{PB}$ を文字でおく（またはそのまま求める）
方べきの定理（パターンⅢ）より：
$$\text{PA} \cdot \text{PB} = \text{PT}^2$$
【超頻出ミス注意！】
$\text{PA} \cdot \text{AB}$ と掛け算してしまう間違いが多発します！必ず「交点 $\text{P}$ からの長さ」なので $\text{PA} \cdot \mathbf{PB}$ です。
2. 数値を代入して $\text{PB}$ を計算する
$$4 \cdot \text{PB} = 6^2$$
$$4 \cdot \text{PB} = 36 \implies \text{PB} = 9$$
3. 線分 $\text{AB}$ の長さを出す
$\text{AB} = \text{PB} – \text{PA} = 9 – 4 = 5$ となります。
【答え】 $\mathbf{AB = 5}$
4. まとめ
- 方べきの定理の基本型： どんな図形でも「交点 $\text{P}$ から円周上の点までの掛け算 $\mathbf{PA \cdot PB}$」！
- 立式の注意点： $\text{PA} \cdot \text{AB}$ のように途中の線分を掛けない！必ず $\text{P}$ を始点にする！
- 逆の成り立ち： $\text{PA} \cdot \text{PB} = \text{PC} \cdot \text{PD}$ が成立すれば、4 点 $\text{A, B, C, D}$ は1つの円周上にある（円に内接する）ことも言える！
方べきの定理を使った長さの計算がスムーズにマスターできました！
次回は「【数A：第13回】2つの円の位置関係と共通接線｜円の性質③（中心距離と半径の関係）」を解説します！
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