「定規とコンパスだけで図形を描くとき、手順の理屈がよく分からない……」
「作図の基礎って、どの定理や性質に基づいているんだろう？」
高校数学A「図形の性質」の第43回（第8回）は、平面図形の重要なテーマである「作図の可能性と基本作図」を解説します！
定規（直線を引く道具）とコンパス（円を描く・長さを移す道具）を用いた「作図」のルールと、中学までに学んだ基本手順を「図形の性質（合同・相似・円）」の観点から論理的に捉え直しましょう！
1. 定規とコンパスによる作図のルール
数学における「作図」では、使用できる道具とその機能が厳密に制限されています。
💡 【作図で許される操作】
- 定規： 2 点を通る直線を引く。（※目盛りの使用や長さを測ることは不可）
- コンパス： 与えられた点を中心とし、与えられた半径（または 2 点間の距離）をもつ円を描く。
- 交点： 直線どうし、円どうし、または直線と円の交点を求める。
2. 5つの基本作図と根拠となる性質
高校数学で問われる複雑な作図も、すべて以下の 5 つの基本作図 の組み合わせで完成します。
| 基本作図 | 作図のねらい | 根拠となる性質 |
|---|---|---|
| ① 垂直二等分線 | 線分 $\text{AB}$ の中点を通る垂線を引く | ひし形の対角線は直交する（または 2 点から等距離にある点の集合） |
| ② 垂線（線上の点） | 直線 $l$ 上の点 $\text{P}$ を通る垂線を引く | 二等分線上の点は線分の中点（二等辺三角形の頂角の二等分線） |
| ③ 垂線（線外の点） | 直線 $l$ 外の点 $\text{P}$ から垂線を下ろす | 二等辺三角形の底辺の垂直二等分線 |
| ④ 角の二等分線 | $\angle \text{XOY}$ を 2 等分する線を引く | 三角形の 3 辺合同条件（$\text{SSS}$ 合同による角度の一致） |
| ⑤ 円の接線 | 円上の点（または円外の点）から接線を引く | 接線と半径の垂直関係、または直径に対する円周角（$90^\circ$） |
🔍 高校数学で差がつく作図：「円外の点からの接線」
円 $\text{O}$ の外部の点 $\text{P}$ から円 $\text{O}$ への接線を引く手順：
- 線分 $\text{OP}$ の中点 $\text{M}$ を求める（垂直二等分線を作図）。
- 点 $\text{M}$ を中心とし、半径 $\text{MO} = \text{MP}$ の円を描く。
- この円と元の円 $\text{O}$ の交点を $\text{T}_1, \text{T}_2$ とすると、直線 $\text{PT}_1, \text{PT}_2$ が求める接線！
※ 理由： 直径 $\text{OP}$ に対する円周角 $\angle \text{OTP} = 90^\circ$ になるため、$\text{OT} \perp \text{PT}$（接線の条件）が満たされるからです！
3. 【実践例題】作図の解法アプローチ
【例題1】角の二等分線の作図とその証明
$\angle \text{AOB}$ の二等分線を作図する手順を以下に示す。
この作図によって得られる半直線 $\text{OP}$ が $\angle \text{AOB}$ を 2 等分することを証明せよ。
【作図手順】
1. 点 $\text{O}$ を中心とする円を描き、辺 $\text{OA}, \text{OB}$ との交点をそれぞれ $\text{C}, \text{D}$ とする。
2. 点 $\text{C}, \text{D}$ をそれぞれ中心として、同じ半径の円を描き、その交点の一方を $\text{P}$ とする。
3. 半直線 $\text{OP}$ を引く。 解答・解説を表示する
【証明】
$\triangle \text{OCP}$ と $\triangle \text{ODP}$ において：
- 手順 1 より、点 $\text{O}$ からの距離が等しいので $\text{OC} = \text{OD}$ $\quad \dots$ ①
- 手順 2 より、点 $\text{C}, \text{D}$ から中心 $\text{P}$ までの距離が等しいので $\text{CP} = \text{DP}$ $\quad \dots$ ②
- 共通の辺より $\text{OP} = \text{OP}$ $\quad \dots$ ③
①, ②, ③ より、3 辺がそれぞれ等しい（$\text{SSS}$ 合同条件） ので、
$$\triangle \text{OCP} \equiv \triangle \text{ODP}$$
合同な図形の対応する角は等しいので：
$$\angle \text{COP} = \angle \text{DOP}$$
したがって、半直線 $\text{OP}$ は $\angle \text{AOB}$ を 2 等分する。（終）
【例題2】線分の分点と平行線を利用した応用作図
与えられた線分 $\text{AB}$ を $2 : 3$ の比に内分する点 $\text{P}$ を作図する方針を説明せよ。 解答・解説を表示する
【作図の構想（平行線と比の利用）】
- 点 $\text{A}$ を通る、線分 $\text{AB}$ 上にない半直線 $\text{AX}$ を引く。
- 半直線 $\text{AX}$ 上に、コンパスを用いて一定の幅で 5 個の点 $\text{C}_1, \text{C}_2, \text{C}_3, \text{C}_4, \text{C}_5$ を $\text{AC}_1 = \text{C}_1\text{C}_2 = \dots = \text{C}_4\text{C}_5$ となるように順に取る。
- 点 $\text{C}_5$ と点 $\text{B}$ を結ぶ直線 $\text{C}_5\text{B}$ を引く。
- 点 $\text{C}_2$ を通り、直線 $\text{C}_5\text{B}$ に平行な直線を引き、線分 $\text{AB}$ との交点を $\text{P}$ とする。
【根拠】
平行線と比の性質より、$\text{AP} : \text{PB} = \text{AC}_2 : \text{C}_2\text{C}_5 = 2 : 3$ となり、点 $\text{P}$ が求める内分点となる。
4. まとめ
- 基本作図： 垂直二等分線・垂線・角の二等分線の作図根拠は「ひし形」や「三角形の合同（$\text{SSS}$）」！
- 円の接線作図： 「直径に対する円周角が $90^\circ$」 を利用して直角（垂直）を作る！
- 線分の分割： 定規で長さを測るのではなく、「平行線と比の性質」を活用して比を作る！
作図の根拠と手順の論理性がすっきりと理解できました！
次回は「【数A：第15回】長さの分つ作図と平方根の作図｜平面図形②（線分の積・商・$\sqrt{a}$ の作図）」を解説します！
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