「『少なくとも1回は……』という問題に出会うと、どう場合分けすればいいのか分からなくなる……」
「確率の計算で、足すのか掛けるのか、余事象を使うべきタイミングの判断に迷う」
高校数学A「場合の数と確率」の第3回は、確率分野の土台となる「確率の基本定義」「余事象の活用」「和事象の確率」を徹底解説します！
すべての試行において等確からしさを正しく認識し、複雑な条件をスッキリ紐解くための基本法則をマスターしましょう！
1. 確率の基本用語と定義
確率を考える上での言葉の定義と、数学的な大前提を確認します。
💡 【用語の整理】
- 試行（しこう）： サイコロを振る、コインを投げるなど、結果が偶然に左右される実験や行為。
- 標本空間（全事象 $U$）： 試行によって起こりうるすべての結果の集合。
- 事象（じしょう）： 標本空間の部分集合（特定の条件を満たす結果の集まり）。
- 根元事象（こんげんじしょう）： それ以上分解できない、1つひとつの最も単純な結果。
【確率の定義（ラプラスの定義）】
ど根元事象が「同様に確からしい（どの結果も同じ確率で起きる）」とき、事象 $A$ が起こる確率 $P(A)$ は：
$$\mathbf{P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{\text{事象Aの起きる場合の数}}{\text{すべての起きる場合の数の総数}}}$$
2. 確率の基本性質と重要公式
確率の値がもつ絶対的なルールと、計算を大幅にラクにする 3 大公式を押さえましょう。
| 法則・公式 | 数式表現 | 活用シーン |
|---|---|---|
| 確率の範囲 | $$0 \le P(A) \le 1 \quad (P(U) = 1)$$ | 答えが $1$ を超えていないかの検算 |
| 余事象の確率 | $$P(\bar{A}) = 1 – P(A)$$ | 「少なくとも〜」という表現があるとき |
| 和事象の確率（加法定理） | $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$ | 「または」が使われている確率の計算 |
🔍 排反（はいはん）な事象とは？
事象 $A$ と $B$ が同時に起こらないとき（共通部分がないとき：$A \cap B = \emptyset$）、$A$ と $B$ は「排反である」といいます。
排反のときは $P(A \cap B) = 0$ となるため、和事象の公式は単なる足し算になります：
$$\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$
3. 【実践例題】確率の基礎演習
【例題1】余事象の活用（「少なくとも」の攻略）
硬貨を同時に 4 枚投げるとき、少なくとも 1 枚は表が出る確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 「少なくとも」は余事象を疑う
「少なくとも 1 枚は表が出る」の反対（余事象）は、「すべての枚数が裏が出る」となります。
2. 余事象の確率を計算する
硬貨 4 枚の出方の総数は $2^4 = 16$ 通り。
すべて裏（「裏・裏・裏・裏」）になる場合は 1 通りであるため、すべて裏が出る確率 $P(\bar{A})$ は： $$P(\bar{A}) = \frac{1}{16}$$
3. $1$ から引き算する
求める確率は余事象の補集合を利用して計算します： $$P(A) = 1 – P(\bar{A}) = 1 – \frac{1}{16} = \mathbf{\frac{15}{16}}$$
【例題2】和事象の確率（加法定理の利用）
1 から 20 までの番号が書かれた 20 枚のカードから 1 枚を引くとき、その番号が 3 の倍数または 4 の倍数である確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 事象を整理する
- 全体：$n(U) = 20$
- 3 の倍数の集合を $A$、4 の倍数の集合を $B$ とする。
2. それぞれの確率を求める
- 3 の倍数（$3, 6, 9, 12, 15, 18$）は 6 個：$P(A) = \frac{6}{20}$
- 4 の倍数（$4, 8, 12, 16, 20$）は 5 個：$P(B) = \frac{5}{20}$
- 3 かつ 4 の倍数（12 の倍数：$12$）は 1 個：$P(A \cap B) = \frac{1}{20}$
3. 加法定理に当てはめる $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{6}{20} + \frac{5}{20} – \frac{1}{20} = \frac{10}{20} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$
4. まとめ
- 確率の定義： $\frac{\text{該当する事象の数}}{\text{すべての場合の数}}$ で計算する！
- 余事象の活用： 「少なくとも〜」を見たら、すかさず $1 – (\text{すべて反対のケース})$ を計算する！
- 加法定理： 「または」の確率は、それぞれの確率を足して、重複している共通部分を引き算する！
確率の基本概念と、余事象・加法定理の使い分けがすっきりと整理できました！
次回は「【数A：第4回】独立な試行と反復試行の確率｜確率②（独立・従属・反復試行の公式）」を解説します！
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