「問題文を読んだとき、『足すのか、掛けるのか』でいつも迷ってしまう……」
「順列（P）と組合せ（C）の使い分けがごちゃごちゃになってしまう……」
高校数学Aのもう一つの大黒柱「場合の数と確率」の第1回は、すべての数え上げの基礎となる「和の法則」「積の法則」と、並べ方を数える「順列（Permutation）」を徹底解説します！
確率を制するための第一歩として、数え上げの原理を頭の中で完全に体系化しましょう！
1. 和の法則と積の法則の基本原則
場合の数を数えるときの基本方針は、すべて「足す」か「掛ける」のどちらかに帰着されます。
💡 【和の法則と積の法則の見極め】
- 和の法則（または）：
事象 $A$ と $B$ が「同時に起こらない（排反）」とき、事象 $A$ または $B$ が起きる総数は：
$$\mathbf{n(A) + n(B)}$$- 積の法則（かつ・続けて）：
事象 $A$ が起こり、そのどの場合に対しても独立して事象 $B$ が「連続して（同時に）起こる」とき、その総数は：
$$\mathbf{n(A) \times n(B)}$$
🔍 迷ったときの判断基準：「ツリー図」をイメージする
・「どれか1つを選ぶ（あるいは場合分け）」なら ＋（足し算）
・「一連の動作として順番に行う（服を選んでから靴を選ぶ）」なら ×（掛け算）と直感的に捉えると間違いません。
2. 順列（Permutation：$n\text{P}_r$）
異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を選んで、「一列に並べる」ときの総数を順列といい、$_n\text{P}_r$ で表します。
💡 【順列の計算公式】
$$_n\text{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) \quad (\text{全部並べる場合は } _n\text{P}_n = n! )$$
※ 意味： 1番目に選ぶのが $n$ 通り、2番目が $(n-1)$ 通り……と、選ぶごとに選択肢が減っていくため「掛け算（積の法則）」を繰り返すことになります。
| 状況 | 計算方法 | ポイント |
|---|---|---|
| 普通の順列 | $_n\text{P}_r$ をそのまま使う | 「並べ方」なので順番を区別する |
| 円順列 | $(n-1)!$ | 回転して一致するものを除外する |
| じゅず順列 | $\frac{(n-1)!}{2}$ | 裏返して一致するものも除外する |
3. 【実践例題】基本の数え上げ演習
【例題1】約数の個数の求め方（積の法則の応用）
$72$ の正の約数は全部で何個あるか。また、そのすべての約数の総和を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 素因数分解する
$72 = 2^3 \times 3^2$
2. 約数の個数を求める
約数は $2^a \times 3^b$ （ただし $a = 0, 1, 2, 3$ の 4 通り、$b = 0, 1, 2$ の 3 通り）の形で表されます。
$a$ の選び方と $b$ の選び方は独立しているので、積の法則より： $$\text{個数} = (3 + 1) \times (2 + 1) = 4 \times 3 = \mathbf{12 \text{個}}$$
3. 約数の総和を求める
因数分解の展開の要領で計算します： $$\text{総和} = (1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)$$ $$= 15 \times 13 = \mathbf{195}$$
【答え】 個数：12個、総和：195
【例題2】順列の利用（条件付きの並べ方）
男子 4 人、女子 3 人の計 7 人が1列に並ぶとき、次のような並び方は何通りあるか。
(1) 女子 3 人が隣り合う並び方
(2) 両端に男子が来る並び方 解答・解説を表示する
(1) 女子 3 人が隣り合う並び方
女子 3 人をひとまとめの「塊（ブロック）」とみなすと、男子 4 人と合わせて計 5 つのオブジェクトを並べることになります。
- 5 つのブロックの並び方：$5! = 120$ 通り
- 塊の中で女子 3 人が入れ替わる並び方：$3! = 6$ 通り
- 積の法則より：$120 \times 6 = \mathbf{720 \text{通り}}$
(2) 両端に男子が来る並び方
両端の 2 席に入る男子の選び方と並べ方を先に考えます。
- 両端の 2 席に入る男子の選び方：$_4\text{P}_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り
- 残りの 5 人（男子 2 人、女子 3 人）が間の 5 席に自由に並ぶ並び方：$5! = 120$ 通り
- 積の法則より：$12 \times 120 = \mathbf{1440 \text{通り}}$
4. まとめ
- 和の法則（＋）： 「同時に起きない」場合分けのときは足す！
- 積の法則（×）： 「連続して・同時に」一連の動作として起きるなら掛ける！
- 順列（$_n\text{P}_r$）： 「順番を区別して並べる」ときは階乗やPの計算を使う！
場合の数の基本となる和・積の法則と順列の考え方がスッキリ整理できました！
次回は「【数A：第2回】組合せ（$n\text{C}_r$）と重複組合せ｜場合の数②（順番を区別しない選び方）」を解説します！
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