【数A：第28回】三垂線の定理と空間の角｜空間図形②（三垂線の定理・2平角のなす角）

「空間図形の中にある角度や長さを求めるとき、どうやって直角を見つければいいの？」
「『三垂線の定理』って名前は難しそうだけど、どんな場面で使うの？」

高校数学A「図形の性質」の第46回（第11回）は、空間図形で最も重要な定理のひとつである「三垂線の定理」と、空間における「2平面のなす角」の測り方を解説します！

複雑に見える3次元の立体から「直角三角形」を取り出して平面上の計算に落とし込むための最強ツールを身につけましょう！

1. 三垂線の定理（3つの直角の関係）
2. 2 平面のなす角（二面角）の定義
3. 【実践例題】空間の長さと角の計算
1. 【例題1】三垂線の定理を用いた長さの計算
2. 【例題2】2 平面のなす角の計算
4. まとめ

1. 三垂線の定理（3つの直角の関係）

平面 $\alpha$ 上にない点 $\text{P}$、平面 $\alpha$ 上の点 $\text{O}$、平面 $\alpha$ 上の直線 $l$（点 $\text{O}$ を通らない）、および直線 $l$ 上の点 $\text{A}$ について、次の3つの垂線関係が成り立ちます。

💡 【三垂線の定理】

$\text{PO} \perp \alpha$ かつ $\text{OA} \perp l \implies \mathbf{\text{PA} \perp l}$

$\text{PO} \perp \alpha$ かつ $\text{PA} \perp l \implies \mathbf{\text{OA} \perp l}$

$\text{PA} \perp l$ かつ $\text{OA} \perp l$（ただし $\text{OA} \ne 0$）かつ $\text{PO} \perp \text{OA} \implies \mathbf{\text{PO} \perp \alpha}$

🔍 一番よく使うのは「パターン 1」！

特に問題演習で頻出するのは 1 つ目のパターン です。
「頂点から底面に下ろした垂線 $\text{PO}$」と「底面内の直線に下ろした垂線 $\text{OA}$」の 2 つが存在するとき、自動的に $\text{PA} \perp l$（斜めの線も直交する）という 3 つ目の直角が生まれます！

2. 2 平面のなす角（二面角）の定義

空間内で交わる 2 つの平面 $\alpha, \beta$ が作る角度（二面角）は、次のように定義されます。

💡 【2 平面のなす角の測り方】

2 つの平面 $\alpha, \beta$ の交わる直線（交線 $l$）をとる。

交線 $l$ 上の点 $\text{A}$ から、平面 $\alpha$ 上に $l \perp m$ となる直線 $m$ を引く。

同じ点 $\text{A}$ から、平面 $\beta$ 上に $l \perp n$ となる直線 $n$ を引く。

このとき、直線 $m$ と直線 $n$ のなす角 $\theta$ を 2 平面のなす角とする。

※ 2 平面のなす角を考えるときは、「交線に対してそれぞれ垂直な 2 直線を作る」のが鉄則です！

3. 【実践例題】空間の長さと角の計算

【例題1】三垂線の定理を用いた長さの計算

1 辺の長さが $2$ である正四面体 $\text{OABC}$ において、頂点 $\text{O}$ から底面 $\text{ABC}$ に下ろした垂線を $\text{OH}$ とし、点 $\text{H}$ から辺 $\text{AB}$ に下ろした垂線を $\text{HD}$ とする。
(1) 線分 $\text{OD}$ の長さを求めよ。
(2) 線分 $\text{OH}$ の長さを求めよ。解答・解説を表示する

(1) 線分 $\text{OD}$ の長さ
三垂線の定理（パターン 2）より、$\text{OH} \perp \text{（平面 ABC）}$ かつ $\text{HD} \perp \text{AB}$ であるから、$\text{OD} \perp \text{AB}$ である。
$\triangle \text{OAB}$ は 1 辺の長さが $2$ の正三角形であるから、$\text{OD}$ はその高さにあたる。 $$\text{OD} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{\sqrt{3}}$$

(2) 線分 $\text{OH}$ の長さ
点 $\text{H}$ は正三角形 $\text{ABC}$ の重心になるため、$\text{HD}$ は中線 $\text{CD}$ の長さを $1 : 2$ 内分する短い方（$\frac{1}{3}$）にあたる。
正三角形 $\text{ABC}$ の高さ $\text{CD} = \sqrt{3}$ より： $$\text{HD} = \frac{1}{3} \text{CD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

直角三角形 $\triangle \text{OHD}$ において、三平方の定理より： $$\text{OH}^2 = \text{OD}^2 – \text{HD}^2 = (\sqrt{3})^2 – \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 3 – \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$$ $$\text{OH} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$$

【例題2】2 平面のなす角の計算

1 辺の長さが $2$ の立方体 $\text{ABCD-EFGH}$ において、面 $\text{EFGH}$ と面 $\text{AFGD}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求めよ。解答・解説を表示する

【手順】

面 $\text{EFGH}$ と面 $\text{AFGD}$ の交線は 直線 $\text{FG}$ である。
交線 $\text{FG}$ に垂直な 2 直線を探す。
面 $\text{EFGH}$ 上で $\text{EF} \perp \text{FG}$。
面 $\text{AFGD}$ 上で $\text{AF} \perp \text{FG}$（側面 $\text{ABFE}$ が正方形であるため）。
したがって、求める角 $\theta$ は $\angle \text{AFE}$ に等しい。

直角三角形 $\triangle \text{AEF}$ において、$\text{EF} = 2$, $\text{AE} = 2$ より、三平方の定理から $\text{AF} = 2\sqrt{2}$。 $$\cos\theta = \frac{\text{EF}}{\text{AF}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}} \quad (\theta = 45^\circ)}$$

4. まとめ

三垂線の定理： 「底面への垂線」と「底面内の直線への垂線」があれば、斜めの線も自動的に垂直（$\text{PA} \perp l$）になる！
2 平面のなす角： 交線を探し、交線上で互いに垂直に立つ 2 直線のなす角を測る！
空間計算の極意： 三垂線の定理や対称性を利用して直角三角形を発見・作成し、三平方の定理や三角比に持ち込む！

空間における直角の発見と角の測り方をマスターできました！

次回は「【数A：第47回】多面体とオイラーの多面体定理｜空間図形③（正多面体5種・オイラーの定理 $v-e+f=2$）」を解説します！