「特定の人たちが『隣り合う』ときの並べ方はどう計算するの？」
「『隣り合わない（離れる）』条件がついた途端に解き方が分からなくなる……」
高校数学A「場合の数と確率」の第21回（第4回）は、定期テストや大学入試の超定番テーマである「隣り合う・隣り合わない順列」を解説します！
このタイプの問題は、条件に応じた定型のアプローチ（思考の型）を身につけてしまえば、どんなに人数が増えても機械的かつ確実に解けるようになります。2大鉄則をしっかりマスターしましょう！
1. 隣り合う順列の鉄則（「セットにして1体化」）
特定のものや人が「隣り合う」という条件がついた場合は、「隣り合うものを1つのグループ（塊）としてまとめる」のが基本方針です。
💡 【隣り合う順列の解法ステップ】
1. 隣り合うものを紐で縛って「1つのまとまり」とみなす。
2. 全体の並び方（塊 ＋ 残りのもの）を計算する。
3. 【超重要】 塊の内部での並び方を計算し、積の法則（掛け算）で掛け合わせる！
イメージ：
$A, B$ が隣り合うなら $(AB)$ という1つの「大きな人」と考えて全体を並べ、最後に $(AB)$ の中で $A, B$ なのか $B, A$ なのかを決めます。
2. 隣り合わない順列の鉄則（「あいだに挟み込む」）
特定のものや人が「隣り合わない（両隣に来ない）」という条件がついた場合は、「条件のないものを先に並べ、その隙間に差し込む」のが基本方針です。
💡 【隣り合わない順列の解法ステップ】
1. 制約のないものを先に一列に並べる。
2. 並べたものの両端および隙間（場所）をカウントする。
3. 隣り合わせたくない要素を、その隙間から選んで順列（$_n\text{P}_r$）で配置する。
イメージ：
男子を先に並べ $\circ \quad \circ \quad \circ \quad \circ$ とすると、隙間（両端含む）は $\vee \circ \vee \circ \vee \circ \vee \circ \vee$ の 5 箇所できます。この $\vee$ に女子を1人ずつ配置すれば、女子どうしが隣り合うことは絶対になくなります！
3. 【実践例題】条件付き順列の演習
【例題1】隣り合う順列（基本）
男子 4 人、女子 3 人の合計 7 人が一列に並ぶとき、女子 3 人が全員隣り合う並べ方は何通りあるか。 解答・解説を表示する
1. 女子 3 人を 1 つのグループとみなす
女子 3 人をまとめて「女子グループ(1体)」と考えます。
男子 4 人 ＋ 女子グループ 1 体 ＝ 合計 5 体 の並べ方を計算します。
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ 通り}$$
2. グループ内の女子 3 人の並び方を計算する
女子 3 人の内部での並び方は $3!$ 通りあります。
$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ 通り}$$
3. 積の法則で掛け合わせる
$$120 \times 6 = 720 \text{ 通り}$$
【答え】 $\mathbf{720}$ 通り
【例題2】隣り合わない順列（応用）
男子 4 人、女子 3 人の合計 7 人が一列に並ぶとき、女子どうしが互いに隣り合わない並べ方は何通りあるか。 解答・解説を表示する
1. 条件のない男子 4 人を先に並べる
男子 4 人の並び方は $4!$ 通りです。
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ 通り}$$
2. 女子を入れる隙間の数をカウントする
男子 4 人の「両端およびあいだ」の隙間は、下図のように 5 箇所 あります。
$$\vee \; \text{男}_1 \; \vee \; \text{男}_2 \; \vee \; \text{男}_3 \; \vee \; \text{男}_4 \; \vee$$
3. 5 箇所の隙間から 3 箇所を選んで女子 3 人を並べる
5 箇所の隙間に女子 3 人を順に配置するので、$_5\text{P}_3$ 通りです。
$$_5\text{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ 通り}$$
4. 積の法則で掛け合わせる
$$24 \times 60 = 1440 \text{ 通り}$$
【答え】 $\mathbf{1440}$ 通り
4. まとめ
- 「隣り合う」とき： 塊として1体化して並べ、後から塊の中の並び方（階乗）を掛ける！
- 「隣り合わない」とき： 関係ない要素を先に並べ、隙間（両端含む）に差し込む（$_n\text{P}_r$）！
条件付き順列の考え方がスッキリ整理できました！
次回は「【数A：第5回】円順列とじゅず順列｜回転して重なる並べ方と裏返せる立体・首飾りの計算」を解説します！
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