「同じ人数に分けるとき、なぜ $3!$ や $2!$ で割らなきゃいけないの？」
「グループに『名前があるとき』と『名前がないとき』で計算が混乱する…」
組み合わせ $C$ の計算を覚えた後に必ず立ちはだかる難関が、この「組分け（グループ分け）問題」です。
一見同じように見える問題でも、「グループを区別するかどうか」で計算方法がガラリと変わります。
今回は、受験生が特につまずきやすい「重複して数えてしまう仕組み」と「割り算する・しないの判定基準」を分かりやすく徹底解説します！
1. 組分け問題の基本概念：「区別」の有無とは？
組分け問題を攻略するカギは、「分けたあとのグループを区別できるか（名前や人数で区別がつくか）」を見極めることです。
まずは、以下の2つのパターンの違いを理解しましょう。
- パターン①：グループに区別がある（例：A組・B組・C組の 3つに分ける）
- パターン②：グループに区別がない（例：単に 3つのグループに分ける）
2. 【徹底比較】区別「あり」と区別「なし」の計算例
実際に 6人の生徒（1, 2, 3, 4, 5, 6）を 2人ずつ 3つのグループに分ける 場面で比べてみましょう。
パターン①：グループに「区別がある」場合（A, B, C の 3組に分ける）
まずは、グループに A, B, C という名前が付いている 場合です。
【ステップ1】 A組に入る2人を選ぶ → ₆C₂ 通り
【ステップ2】 B組に入る2人を選ぶ → ₄C₂ 通り
【ステップ3】 C組に入る2人を選ぶ → ₂C₂ 通り（1通り）
連続して選んでいくので、積の法則で掛け合わせます。
$$\text{計算式：} \quad _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = 15 \times 6 \times 1 = \mathbf{90 \text{通り}}$$
- ここがポイント： A組が {1, 2}、B組が {3, 4}、C組が {5, 6} になる場合と、A組が {3, 4}、B組が {1, 2}、C組が {5, 6} になる場合は別のパターンとしてカウントされます。
パターン②：グループに「区別がない」場合（単に 2人ずつ 3組に分ける）
次に、部屋の名前やグループ名がなく、ただ 3つのペア（2人・2人・2人）に分ける 場合です。
区別がない場合、パターン①で計算した 90通りの結果の中に、見た目上まったく同じ組み合わせが重複して含まれてしまいます。
【見た目が同じ分け方の例】
・パターンA： [A組: {1,2}] [B組: {3,4}] [C組: {5,6}]
・パターンB： [A組: {3,4}] [C組: {1,2}] [B組: {5,6}]
・パターンC： [A組: {5,6}] [B組: {1,2}] [C組: {3,4}] ...など
名前（A, B, C）を取り払ってしまうと、上のパターンはどれも 「{1,2} と {3,4} と {5,6} の3組」 という全く同じ分け方になります。
人数が同じグループが 3つ あるため、そのグループ同士の並べ替え方である $3! = 6$ 通りずつ 重複してカウントされているのです。
したがって、区別がある場合の計算結果を $3!$ で割る 必要があります！
$$\text{計算式：} \quad \frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{90}{6} = \mathbf{15 \text{通り}}$$
3. 【判定ルール】いつ「割る」のか？（割り算の鉄則）
割るか割らないかで迷ったときは、次のルールを絶対に覚えておきましょう。
💡 【組分け問題の割り算ルール】
「人数が同じ」で「名前の区別がない」グループが $k$ 個あるときは、最後に $k!$ で割る！
⚠️ 注意が必要なパターン（人数が異なる場合）
例えば、6人を「3人・2人・1人」の 3組に分ける 場合を考えてみましょう。
この場合、グループに名前が付いていなくても、「3人の組」「2人の組」「1人の組」という人数の違い自体がグループの区別（識別タグ） になります。
入れ替わって重複することが構造上起こり得ないため、$3!$ などの割り算は不要です！
$$\text{計算式：} \quad _6C_3 \times _3C_2 \times _1C_1 = 20 \times 3 \times 1 = \mathbf{60 \text{通り}}$$
4. 【実践例題】テスト・受験で出る応用問題
【例題】異なる 8冊の本の分け方
異なる 8冊の本がある。次のような分け方は何通りあるか。
- Aに 4冊、Bに 2冊、Cに 2冊の 3人に分ける。
- 4冊、2冊、2冊の 3つの組に分ける。
【解説】(1) Aに 4冊、Bに 2冊、Cに 2冊の 3人に分ける
「A, B, C」と人（グループ）が明確に区別されているため、順番に選んで掛けるだけです。
- Aの 4冊を選ぶ： $_8C_4 = 70$ 通り
- Bの 2冊を選ぶ： $_4C_2 = 6$ 通り
- Cの 2冊を選ぶ： $_2C_2 = 1$ 通り
$$\text{計算式：} \quad _8C_4 \times _4C_2 \times _2C_2 = 70 \times 6 \times 1 = \mathbf{420 \text{通り}}$$
【解説】(2) 4冊、2冊、2冊の 3つの組に分ける
(1) との違いは 「A, B, C という区別がなくなったこと」 です。
ここで注目すべきは、「2冊」という同じ人数のグループが 2つある という点です。
この「2冊の組」同士には区別がないため、(1) の結果を $2!$ で割る 必要があります。
（※4冊の組は人数が異なるため、重複の原因になりません）
$$\text{計算式：} \quad \frac{_8C_4 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{420}{2} = \mathbf{210 \text{通り}}$$
【答え】 (1) 420通り / (2) 210通り
5. まとめ
- 区別がある場合（名前つき） $\to$ $_nC_r$ を順に計算して掛けるだけ！
- 区別がない場合（名前なし） $\to$ 「人数が同じグループの個数 $k$」 に注目し、最後に $k!$ で割る！
- 人数がバラバラ（例：3人・2人・1人）なら、区別がなくても割り算は不要！
「同じ人数の組が何個あるか？」を意識するだけで、組分け問題のミスは激減します。
次回は、いよいよ「場合の数」の単元を締めくくる超重要公式「第39回：二項定理とパスカルの三角形の仕組み」を解説します！
参考PR
- 安さ＆予備校級の講義動画なら 👉 [スタディサプリ高校講座]
- 定期テスト＆推薦入試対策なら 👉 [進研ゼミ高校講座]
- 難関大突破＆記述・添削なら 👉 [Ｚ会の通信教育]
コメント