「確率の問題で、計算を『足す（＋）』のか『掛ける（×）』のか分からなくなる……」
「問題文に出てくる『互いに排他（はいた）』って、結局どういう状態のこと？」
場合の数でも「和の法則」「積の法則」が登場しましたが、確率でも「いつ足して、いつ掛けるのか」の判断は非常に重要なテーマです。
今回は、確率の計算における基礎のキソである「確率の加法定理（和法則）」と、「互いに排他」という言葉の正確な意味、そして「足し算と掛け算の使い分け」について分かりやすく解説します！
1. 「互いに排他（はいた）」とは？
確率の加法定理を理解するうえで、最も大切なキーワードが「排他（互いに排他である）」です。
💡 【互いに排他（Mutually Exclusive）】
2つの事象 A と B が**「同時には絶対に起こらない」**関係にあること。
集合で表すと、共通部分が存在しない状態（A∩B=∅）を意味します。
言葉だけだと難しく感じるかもしれませんが、身近な例で考えると簡単です。
【具体例】1つのサイコロを 1回 投げる場合
- 事象 A：「1の目が出る」
- 事象 B：「2の目が出る」
1回のキャストで「1の目」と「2の目」が同時に出ることは絶対にありませんよね。
このように「片方が起これば、もう片方は絶対に起こらない」関係を「互いに排他である」といいます。
2. 確率の加法定理（和の法則）
2つの事象 A,B が互いに排他であるとき、事象 A または B の少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B) は、それぞれの確率の足し算（＋）で求めることができます。
💡 【確率の加法定理】
A と B が互いに排他であるとき、
P(A∪B)=P(A)+P(B)
⚠️ 注意！排他でないときは単純に足せない
もし A と B が同時に起こる可能性がある（排他でない）場合は、ダブり（重複部分）を引く必要があります。
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
- 例：1つのサイコロを投げて「偶数の目（2, 4, 6）」または「3以上の目（3, 4, 5, 6）」が出る確率→ 「4」と「6」は両方に当てはまる（同時に起こる）ため、単純に足すだけではダブってしまいます。
3. 「足し算（＋）」と「掛け算（×）」の使い分け
確率の計算で「足すのか・掛けるのか」迷ったら、次のフレーズで整理しましょう！
| 法則 | 使う場面 | キーワード | 計算 |
|---|---|---|---|
| 和の法則（加法定理） | 別々の場合分け（同時には起こらない） | 「〜または…（OR）」 | ＋（足し算） |
| 積の法則 | 一連の流れ・連続する動作 | 「〜そして…（AND）」 | ×（掛け算） |
- 足し算（＋）：「パターン①」と「パターン②」は同時に起こらない（別々の場合分け）
- 掛け算（×）：「1回目に〜して」、続けて「2回目に…する」（連続した一連の動き）
4. 【実践例題】加法定理と積法則の組み合わせ
実際にテストでよく出題される問題を通して、足し算と掛け算の使い分けを確認しましょう。
【例題1】玉を取り出す確率（別々の場合分け ＝ 足し算）
赤玉 4個、白玉 3個が入っている袋から、同時に 2個の玉を取り出すとき、2個とも同じ色である確率を求めよ。
解答・解説
- 場合分けをする（排他かどうかを確認）「2個とも同じ色」になるのは、次の 2つのパターン があります。
- パターンA：2個とも「赤玉」を取り出す
- パターンB：2個とも「白玉」を取り出す
- すべての取り出し方の総数 N を求める合計 7個から 2個を選ぶ組み合わせです。N=7C2=2×17×6=21通り
- それぞれの確率を求める
- パターンA（赤2個）の確率 P(A)：赤4個から2個選ぶ →4C2=6通りP(A)=216
- パターンB（白2個）の確率 P(B)：白3個から2個選ぶ →3C2=3通りP(B)=213
- 互いに排他なので「足し算（＋）」をするP=P(A)+P(B)=216+213=219=73
【答え】 73
【例題2】連続してカードを引く確率（一連の流れ ＝ 掛け算）
1から 10までの数字が書かれた 10枚のカードから、元に戻さずに 1枚ずつ計 2枚引くとき、1枚目が奇数で、2枚目が偶数である確率を求めよ。
解答・解説
- 一連の流れ（AND）であることを確認する「1枚目を引く」という動作に続いて「2枚目を引く」という一連の流れなので、掛け算（×）を使います。
- 1枚目に奇数を引く確率を求める10枚中、奇数は 5枚（1, 3, 5, 7, 9）あります。P1=105=21
- 2枚目に偶数を引く確率を求めるカードは元に戻さないため、残りは 9枚です。そのうち偶数は 5枚（2, 4, 6, 8, 10）残っています。P2=95
- 一連の動きなので「掛け算（×）」をするP=P1×P2=21×95=185
【答え】 185
5. まとめ
- 互いに排他：「同時に起こることは絶対にない」という関係（A∩B=∅）。
- 確率の加法定理：互いに排他なら P(A∪B)=P(A)+P(B)（単純に足してOK！）。
- 足し算と掛け算の判断：
- 足し算（＋）：「パターン①」または「パターン②」（別々の場合分け）
- 掛け算（×）：「1回目に〜して」、続けて「2回目に…する」（連続した動作）
「文章題を読むときに、これが『独立した場合分け』なのか『一連の連続動作』なのか」を意識するだけで、立式で迷うことがなくなります！
次回は、今回学んだ「掛け算」の考え方をさらに深掘りする「第43回：独立な試行の確率と反復試行（繰り返し行う試行）」を解説します！
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