「2次関数の最大・最小問題で、文字が入ってきた途端に手が出なくなる…」
「場合分けの条件（$a < 0$ とか $0 \leqq a \leqq 2$ とか）をどう作ればいいのか分からない」
定期テストや大学入試で必ずと言っていいほど出題されるのが、軸や定義域（$x$ の範囲）に文字を含む2次関数の最大・最小です。
一見難しそうに見えますが、「何が動いているのか」をイメージして「場合分けの基準」さえ掴んでしまえば、どんなパターンでも機械的に解けるようになります！
今回は、受験生が一番つまずきやすいこの分野を、図解とともに分かりやすく徹底解説します。
1. なぜ「場合分け」が必要なのか？
2次関数 $y = a(x – p)^2 + q$ （下に凸とする）の最大・最小を考えるときの鉄則は、「頂点（軸）が定義域の中にあるかどうか」でした。
しかし、軸や定義域に文字 $a$ などが含まれていると、グラフと定義域の位置関係が変化してしまいます。
上記のように、軸が左にあるか、中央にあるか、右にあるかによって「どこが一番低いか（最小値）」「どこが一番高いか（最大値）」が変わります。
だからこそ、「状況ごとにグループ分けして答える（＝場合分け）」が必要になるのです。
2. パターン①：軸が動く場合の「最小値」
まずは、下に凸のグラフで軸（頂点）が動くパターンを考えてみましょう。
【例題1】
$f(x) = x^2 – 2ax + 1 \quad (0 \leqq x \leqq 2)$ の最小値を求めよ。
解き方の手順
まずは平方完成して、軸の位置を確認します。
$$f(x) = (x – a)^2 – a^2 + 1$$
軸は 直線 $x = a$、頂点は $(a, -a^2 + 1)$ です。
軸 $x = a$ が、定義域 $0 \leqq x \leqq 2$ に対して「どこにあるか」で3つに場合分けします。
1. 軸が定義域の「左側」にあるとき（$a < 0$）
グラフは $0 \leqq x \leqq 2$ の範囲で単調増加（右上がり）になります。
- 最小値：$x = 0$ のとき
- $f(0) = 1$
2. 軸が定義域の「内側」にあるとき（2. 軸が定義域の「内側」にあるとき（$0 \leqq a \leqq 2$）
\leqq a \leqq 2$）
定義域の中に頂点が含まれるため、頂点がそのまま最小になります。
- 最小値：$x = a$ のとき
- $f(a) = -a^2 + 1$
3. 軸が定義域の「右側」にあるとき（ < a$）
グラフは $0 \leqq x \leqq 2$ の範囲で単調減少（右下がり）になります。
- 最小値：$x = 2$ のとき
- $f(2) = 2^2 – 2a(2) + 1 = 5 – 4a$
【解答のまとめ】
- $a < 0$ のとき：$x = 0$ で最小値 $1$
- $0 \leqq a \leqq 2$ のとき：$x = a$ で最小値 $-a^2 + 1$
- $2 < a$ のとき：$x = 2$ で最小値 $5 – 4a$
💡 ポイント（最小値の場合分け）
下に凸のグラフの最小値は、**「軸が左外」「内側」「右外」**の 3パターン に分ける！
3. パターン②：軸が動く場合の「最大値」
次に、同じ関数・定義域で「最大値」を求めてみましょう。
下に凸のグラフにおいて、最大値をとるのは「軸から一番遠い端点」です。 したがって、最大値の場合分けの基準は、定義域の「中央（中点）」になります！
定義域 $0 \leqq x \leqq 2$ の中央は、$\frac{0 + 2}{2} = 1$ です。
【例題2】
$f(x) = (x – a)^2 – a^2 + 1 \quad (0 \leqq x \leqq 2)$ の最大値を求めよ。
1. 軸が中央より「左」にあるとき（$a < 1$）
軸が左寄りのため、右端の $x = 2$ の方が軸から遠くなります。
- 最大値：$x = 2$ のとき
- $f(2) = 5 – 4a$
2. 軸がちょうど「中央」にあるとき（$a = 1$）
左右対称になり、両端 $x = 0, 2$ で同じ高さをとります。
- 最大値：$x = 0, 2$ のとき
- $f(0) = f(2) = 1$
3. 軸が中央より「右」にあるとき（ < a$）
軸が右寄りのため、左端の $x = 0$ の方が軸から遠くなります。
- 最大値：$x = 0$ のとき
- $f(0) = 1$
【解答のまとめ】
- $a < 1$ のとき：$x = 2$ で最大値 $5 – 4a$
- $a = 1$ のとき：$x = 0, 2$ で最大値 $1$
- $1 < a$ のとき：$x = 0$ で最大値 $1$
※ $a = 1$ のときは $a \leqq 1$ や $a \geqq 1$ の中に含めて書いても構いません。
💡 ポイント（最大値の場合分け）
下に凸のグラフの最大値は、**「定義域の中央」**より軸が左か右かで 2パターン（または3パターン） に分ける！
4. 場合分けの整理表（永久保存版）
下に凸（$a > 0$）の2次関数において、場合分けの基準をまとめた表です。迷ったらここに戻ってきましょう！
| 求める値 | 注目するポイント | 場合分けの数 | 境目となる値 |
| 最小値 | 軸が定義域に入っているか | 3パターン | 定義域の「左端」と「右端」 |
| 最大値 | 軸が定義域の中央よりどちら寄りか | 2〜3パターン | 定義域の「中央（中点）」 |
（※上に凸のグラフの場合は、最大値と最小値の考え方が逆になります）
5. まとめ
- 文字が入っても焦らない！ 平方完成して「軸」の形を特定する。
- 最小値（下に凸） は、軸が「左・中・右」の 3つ。
- 最大値（下に凸） は、軸が「中央より左・右」の 2つ。
- グラフをノートの余白に簡単でいいので描き、動くイメージを持つことが成功の鍵！
軸や定義域に文字が含まれる問題は、最初は誰もが戸惑う難所です。しかし、手を動かしてグラフを描き、パターンを意識して解く練習を重ねれば、確実に得点源にできます。
次回は「2次関数の決定（条件から式を求める問題）」を解説します！
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