「四分位数（$Q_1, Q_2, Q_3$）の求め方で、データを半分に分けるときに中央値を含めるんだっけ？」
「箱ひげ図の箱の幅やひげの長さって何を表しているの？」
前回の「代表値（平均値・中央値・最頻値）」に続き、今回はデータの「散らばり具合（ばらつき）」を視覚的に把握するための超重要ツール「四分位数（しぶんいすう）」と「箱ひげ図（はこひげず）」を学習します！
共通テストでは、複数の箱ひげ図を比較して正しく読み取る考察問題が毎年出題されます。
今回は、データの個数に応じた四分位数の出し方から、箱ひげ図の構造、よくある間違いの対策まで分かりやすく徹底解説します！
1. データを4等分する「四分位数（しぶんいすう）」とは？
データを小さい順に並べたとき、全体を4等分する3つの区切り位置にある値を「四分位数」と呼びます。
【最小値】 --- (25%) --- [ Q1 ] --- (25%) --- [ Q2 ] --- (25%) --- [ Q3 ] --- (25%) --- 【最大値】
第1四分位数 第2四分位数 第3四分位数
(中央値)
| 名称 | 記号 | 意味・定義 |
| 第1四分位数 | $Q_1$ | 下位50%の中央値（全体を小さい方から数えて25%の位置） |
| 第2四分位数 | $Q_2$ | 全体の中央値（全体の50%の位置） |
| 第3四分位数 | $Q_3$ | 上位50%の中央値（全体を小さい方から数えて75%の位置） |
四分位数の一番確実な求め方手順
四分波数を求めるときは、次の2ステップを踏むと絶対に間違えません。
- データを小さい順に並べ、全体の中央値（$Q_2$） を見つける。
- $Q_2$ を境目にしてデータを「下位グループ」と「上位グループ」の2つに分割する。
- 注意！ $Q_2$ がピッタリ1つのデータ値だった場合、その $Q_2$ 自体は上下のグループどちらにも含めません。
- $Q_2$ が2つの値の平均だった場合（データが偶数個のとき）は、真ん中の境界で素直に半分に分けます。
- 下位グループの中央値が $Q_1$、上位グループの中央値が $Q_3$ になります。
2. データの散らばり表す「四分位範囲」と「四分位偏差」
データの散らばり具合（バラツキ）を数値で比較するために、四分位数を使った以下の2つの指標を使います。
💡 散らばりの指標
- 範囲（レンジ） $= \text{最大値} – \text{最小値}$
- 四分位範囲（IQR） $= Q_3 – Q_1$
- 四分位偏差 $= \frac{Q_3 – Q_1}{2}$
なぜ「範囲」だけでなく「四分位範囲」を使うの？
「範囲（最大値 $-$ 最小値）」は、たった1つの極端な値（外れ値）があるだけで数値が跳ね上がってしまいます。
一方、「四分位範囲（$Q_3 – Q_1$）」はデータの中央50%（真ん中の半数）が収まる幅を表すため、外れ値の影響を受けにくく、データの本来の散らばりを正確に捉えることができます！
3. データを図にした「箱ひげ図」の構造
四分位数を視覚的にパッと見やすくグラフ化したものが箱ひげ図です。
箱ひげ図の読み取りルール
- 箱の左端（下端）：第1四分位数（$Q_1$）
- 箱の中の太線：第2四分位数（$Q_2$ ＝ 中央値）
- 箱の右端（上端）：第3四分位数（$Q_3$）
- 箱の横幅：四分位範囲（$Q_3 – Q_1$）
- ひげの左端（下端）：最小値
- ひげの右端（上端）：最大値
- ひげ全体の端から端：範囲（最大値 $-$ 最小値）
※平均値を表すために、箱の中に「＋」や「×」などの記号が記載されることもあります。
4. 【実践例題】四分位数と箱ひげ図の作成
【例題】データの四分位数・四分位範囲を求める
次のデータは、生徒9人の小テストの得点（点）である。
$3, \quad 7, \quad 4, \quad 8, \quad 9, \quad 5, \quad 6, \quad 8, \quad 10$
(1) 第1四分位数 $Q_1$、第2四分位数 $Q_2$、第3四分位数 $Q_3$ を求めよ。
(2) 四分位範囲と四分位偏差を求めよ。
解答・解説
(1) 四分位数を求める
まずデータを小さい順に並び替えます。
$$3, \quad 4, \quad 5, \quad 6, \quad \mathbf{7}, \quad 8, \quad 8, \quad 9, \quad 10$$
- Step 1: 中央値（$Q_2$）を探す全9個（奇数個）なので、5番目の値が中央値です。$$\mathbf{Q_2 = 7}$$
- Step 2: グループ分けと $Q_1, Q_3$ の決定$Q_2 = 7$ を除いた「下位4個」と「上位4個」に分けます。
- 下位グループ： $3, \quad \mathbf{4, \quad 5}, \quad 6$中央の2つ（4と5）の平均をとります $\implies Q_1 = \frac{4 + 5}{2} = \mathbf{4.5}$
- 上位グループ： $8, \quad \mathbf{8, \quad 9}, \quad 10$中央の2つ（8と9）の平均をとります $\implies Q_3 = \frac{8 + 9}{2} = \mathbf{8.5}$
【答え】 $Q_1 = 4.5 \text{点}, \quad Q_2 = 7 \text{点}, \quad Q_3 = 8.5 \text{点}$
(2) 四分位範囲と四分位偏差を求める
- 四分位範囲 $= Q_3 – Q_1 = 8.5 – 4.5 = \mathbf{4 \text{点}}$
- 四分位偏差 $= \frac{Q_3 – Q_1}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2 \text{点}}$
【答え】 四分位範囲：4点、四分位偏差：2点
5. テストで絶対引っかからない！共通テスト対策・読み取りのコツ
共通テストの文章選択問題（「箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを選べ」）では、次の誤解を誘うトラップが頻出します。
⚠️ トラップ①：「箱の長さが長い＝データ数が多く含まれている」は間違い！
箱ひげ図の区間（ひげの各部分、箱の左右）には、長さにかかわらず常に全体の約25%（4分の1）のデータ数が含まれます。
- 箱が長い $\implies$ 「データ数が多く入っている」のではなく、「データが広く散らばっている（密度が低い）」という意味です。
⚠️ トラップ②：「箱ひげ図から平均値は直接分からない」
箱の中の線は「中央値（メジアン）」です。「＋」印などで明示されていない限り、箱ひげ図だけから平均値を特定することはできません。
6. まとめ
- 四分位数：データを小さい順に並べて4等分した区切り（$Q_1, Q_2, Q_3$）。
- 四分位範囲（IQR） $= Q_3 – Q_1$ （データの中央50%の幅）。
- 箱ひげ図の着眼点：
- 箱の両端 $= Q_1, Q_3$
- 箱の中の線 $= Q_2$（中央値）
- 各区間には常にデータの約25%が存在する！
次回は、計算力で差がつくデータの数値的ばらつき指標「第29回：分散（ぶんさん）と標準偏差（ひょうじゅんへんさ）」を解説します！
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