こんにちは！高校数学の学習ブログへようこそ！
今回からいよいよ、高校数学Ⅰの最大の山場である第3章「2次関数」に入っていきます！
2次関数攻略の鍵は、何と言っても「グラフを描くこと」。 そして、正確なグラフを描くためにどうしても避けて通れない基本テクニックが「平方完成（へいほうかんせい）」です。
「計算途中で符号を間違えてしまう…」
「$x$ の前の係数でくくるところで混乱する…」
そんな悩みを持つ人に向けて、今回は絶対につまずかない平方完成の3ステップとグラフの描き方を徹底解説します！
1. 2次関数グラフの「基本の形」を知ろう
2次関数のグラフは「放物線（ほうぶつせん）」と呼ばれる美しい左右対称の曲線になります。
グラフの特徴や頂点の位置を一目で読み取るには、式を次の形に変形する必要があります。
$$y = a(x – p)^2 + q$$
基本形から読み取れる3つの超重要ポイント
- 頂点の座標 $\Longrightarrow$ $(p, q)$
- $(x – p)$ の部分の符号が反転して $p$ になる点に注意！
- 軸の方程式 $\Longrightarrow$ $x = p$
- グラフの折り返し地点となる対称軸です。
- グラフの向き（$a$ の符号で決定）
- $a > 0$（正） $\Longrightarrow$ 下に凸（笑顔の口）
- $a < 0$（負） $\Longrightarrow$ 上に凸（怒った口）
2. 平方完成の「絶対失敗しない3ステップ」
一般的な2次関数の式 $y = ax^2 + bx + c$ を、頂点がわかる $y = a(x – p)^2 + q$ の形に変形する操作を平方完成と呼びます。
混乱しやすい手順も、次の3ステップを順番に守ればスッキリ解けます！
1.x の項までを x² の係数でくくる:定数項（後ろの数字）はそのまま放置！。
$x^2$ の前に数字（係数 $a$）がついている場合、 $x^2$ と $x$ の項までをその数字でかっこ（ $a(\dots)$ ）の中にくくります。
2.x の係数の「半分」を作って 2 乗の形にする:最重要ステップ！。
かっこの中の $x$ の係数の半分の数を使って $(x + \text{半分})^2$ を作ります。
このとき、余分に出てきてしまう**「半分の2乗」**を後ろで引くのを忘れないでください。
3.かっこを外して定数項をまとめる:符号の計算ミスに注意！。
一番外側の括弧を分配法則で外し、後ろに残っている数字（定数項）を計算してまとめます。
3. 実践！平方完成の計算例
実際に基本問題から応用問題まで解いてみましょう。
例題1：$x^2$ の係数が 1 の場合
$y = x^2 – 6x + 5$ を平方完成し、頂点と軸を求めよ。
【解法手順】
- $x$ の係数は $-6$ です。この半分は $-3$。
- $(x – 3)^2$ を作ると、$(-3)^2 = 9$ が余分に出てくるので $9$ を引きます。$$y = (x – 3)^2 – 9 + 5$$
- 後ろの数字をまとめます。$$y = (x – 3)^2 – 4$$
- 頂点の座標：$(3, -4)$
- 軸の方程式：$x = 3$
例題2：$x^2$ の係数が 1 以外（$-2$）の場合
$y = -2x^2 + 8x – 1$ を平方完成し、頂点と軸を求めよ。
【解法手順】
- $x^2$ の係数 $-2$ で、$x$ の項までをくくります。$$y = -2(x^2 – 4x) – 1$$※ $-2$ でくくるので、 $+8x$ が $-4x$ に変わることに注意！
- かっこの中身（$x^2 – 4x$）を平方完成します。
- $-4$ の半分は $-2$
- $(-2)^2 = 4$ を引く$$y = -2 \left\{ (x – 2)^2 – 4 \right\} – 1$$
- 分配法則で外側の $-2$ を掛け合わせてかっこを外し、後ろをまとめます。$$y = -2(x – 2)^2 + 8 – 1$$$$y = -2(x – 2)^2 + 7$$
- 頂点の座標：$(2, 7)$
- 軸の方程式：$x = 2$
- グラフの向き：$a = -2 < 0$ なので上に凸
4. 綺麗な2次関数グラフを描く3つのコツ
平方完成ができたら、いよいよノートにグラフを描きます。
次の3つの点を押さえると、誰でもキレイで正確なグラフが描けます！
- 頂点の座標を打ち、点線で軸を描く。
- $y$ 軸との交点（ $y$ 切片）を打つ。
- $y$ 切片は、最初の式 $y = ax^2 + bx + c$ に $x = 0$ を代入したときの $c$（一番後ろの定数） です。
- 頂点と $y$ 切片を通るように、左右対称ななめらかな曲線を描く。
5. 理解度チェック！確認テスト（演習問題）
実際に手を動かして、平方完成のマスター度をテストしてみましょう！
【問題1】基本の平方完成
次の2次関数を平方完成し、グラフの頂点と軸の方程式を求めよ。
$$y = x^2 + 4x + 1$$
【解答】
- 平方完成の式：$y = (x + 2)^2 – 3$
- 頂点：$(-2, -3)$
- 軸：$x = -2$
【解説のポイント】
- $x$ の係数 $+4$ の半分は $+2$ です。
- $(x + 2)^2$ を作って、余分な $2^2 = 4$ を引き算します。$$y = (x + 2)^2 – 4 + 1$$$$y = (x + 2)^2 – 3$$
- $(x + 2)$ なので、頂点の $x$ 座標は符号が反転して $-2$ になる点に気をつけてください！
【問題2】係数でくくる平方完成
次の2次関数を平方完成し、グラフの頂点と軸の方程式を求めよ。
$$y = 3x^2 – 12x + 7$$
【解答】
- 平方完成の式：$y = 3(x – 2)^2 – 5$
- 頂点：$(2, -5)$
- 軸：$x = 2$
【解説のポイント】
- $x^2$ の係数 $3$ で $x$ の項までをくくります。$$y = 3(x^2 – 4x) + 7$$
- かっこの中身を平方完成します（$-4$ の半分は $-2$）。$$y = 3\left\{ (x – 2)^2 – 4 \right\} + 7$$
- 分配法則で $3$ を掛けてかっこを外し、整理します。$$y = 3(x – 2)^2 – 12 + 7$$$$y = 3(x – 2)^2 – 5$$
まとめ
最後に今回のポイントをおさらいしましょう！
- 2次関数の頂点・軸を知るには $y = a(x – p)^2 + q$ の形（平方完成）を作る！
- 頂点の座標は $(p, q)$。（ $x$ 側の符号反転に注意！）
- 平方完成は「半分の2乗を引く」＆「係数でくくったときのかっこ外しの掛け忘れ」に注意する！
平方完成は、これから習う「2次関数の最大・最小」や「2次方程式・不等式」でも毎回必ず使う最重要テクニックです。
何度も手を動かして、無意識レベルでスムーズに計算できるよう練習しておきましょう！
次回は「2次関数の平行移動と対称移動」について解説します！お楽しみに！
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