「『少なくとも1つは赤玉が出る確率』って、1個の場合、2個の場合……って全部足すの？」
「余事象（よじしょう）って言葉は聞くけれど、具体的にいつ使えばいいの？」
確率の問題を解いていて、場合分けが多くて計算が面倒だと感じたことはありませんか？
そんなときに大活躍するのが「余事象の確率」です。
今回は、テストや共通テストで超頻出のキーワード「少なくとも〜」を見た瞬間に使える解法パターンから、計算ミスを激減させる $1 – P(A)$ の仕組み、そして具体的な例題まで分かりやすく解説します！
1. 「余事象（よじしょう）」とは？
ある事象 $A$ に対して、「 $A$ が起こらない」という事象のことを、$A$ の余事象といい、$\bar{A}$（Aバー） と表します。
たとえば、1つのサイコロを投げるとき：
- 事象 $A$ ： 「偶数の目が出る」（2, 4, 6）
- 余事象 $\bar{A}$ ： 「偶数の目が出ない ＝ 奇数の目が出る」（1, 3, 5）
全体の確率（すべての事象が起こる確率の和）は必ず $1$ になるため、次の重要な関係が成り立ちます。
💡 【余事象の確率の公式】
$$\mathbf{P(A) = 1 – P(\bar{A})}$$
（事象 $A$ が起こる確率 ＝ $1$ － 事象 $A$ が起こらない確率）
「全体（1）から、ダメなパターン（起きない確率）を引き算する」という非常にシンプルな考え方です。
2. なぜ余事象を使うの？（発動の合図は「少なくとも〜」）
余事象を使う最大のメリットは、「直接計算すると大変な問題を、一瞬で終わらせられること」です。
問題文に以下のフレーズが出てきたら、「余事象を使え！」という合図（サイン）です。
- 「少なくとも1つは〜」
- 「少なくとも〜以上」
- 「〜でない」
【具体例】コインを 4枚 投げるとき
「少なくとも1枚は表が出る確率」を考えてみましょう。
1. 直接求める場合（大変！）
「少なくとも1枚は表」ということは、以下の 4つのパターン をすべて計算して合計する必要があります。
- 表が 1枚（裏3枚）になる確率
- 表が 2枚（裏2枚）になる確率
- 表が 3枚（裏1枚）になる確率
- 表が 4枚（裏0枚）になる確率
これらを1つずつ計算して足し合わせるのは、時間もかかり計算ミスの元になります。
2. 余事象（ – P(\bar{A})$）を使う場合（圧倒的にラク！）
「少なくとも1枚は表」の逆（＝起こらなかったら困る唯一のパターン）は何でしょうか？
それは、「4枚ともすべて裏が出る」パターンだけです！
つまり、$1 – (\text{4枚とも裏が出る確率})$ を計算するだけで、一発で答えが求まります。
3. 【実践例題】余事象を使った基本・応用パターン
実際にテストで出題される典型問題に挑戦してみましょう。
【例題1】玉を取り出す問題（基本）
赤玉 5個、白玉 4個が入っている袋から、同時に 3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は白玉が含まれる確率を求めよ。
解答・解説
- 余事象を定義する求める事象は「少なくとも1個は白玉が含まれる」です。その余事象は「3個ともすべて赤玉を取り出す」ことになります。
- すべての取り出し方の総数 $N$ を求める合計 9個の玉から 3個を選ぶ組み合わせです。$$N = _9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \text{通り}$$
- 余事象（3個とも赤玉）が起こる場合の数 $a$ を求める5個の赤玉から 3個を選ぶ組み合わせです。$$a = _5C_3 = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{通り}$$
- 余事象の確率 $P(\bar{A})$ を求めて、$1 – P(\bar{A})$ を計算する$$P(\bar{A}) = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$$したがって、求める確率は$$P(A) = 1 – \frac{5}{42} = \mathbf{\frac{37}{42}}$$
【答え】 $\dfrac{37}{42}$
【例題2】サイコロと積の確率（応用）
3つのサイコロを同時に投げるとき、出る目の積（かけ算）が偶数になる確率を求めよ。
解答・解説
- 「積が偶数」の条件を考える掛け算の答えが偶数になるのは、「少なくとも1つのサイコロが偶数」のときです。（偶数が1つでも含まれていれば、かけ算の結果は必ず偶数になります）
- 余事象を考える「少なくとも1つは偶数」の余事象は、「3つのサイコロがすべて奇数」のときです。
- 余事象の確率を計算する
- すべての目の出方： $6 \times 6 \times 6 = 216 \text{通り}$
- 奇数の目（1, 3, 5）が出る出方： $3 \times 3 \times 3 = 27 \text{通り}$
- 全体の確率から引き算する$$P(A) = 1 – \frac{1}{8} = \mathbf{\frac{7}{8}}$$
【答え】 $\dfrac{7}{8}$
4. まとめ
- 余事象とは：「〜でない」という反対の事象のこと（記号は $\bar{A}$）。
- 公式：$P(A) = 1 – P(\bar{A})$
- 発動の合図：問題文に 「少なくとも1つ〜」 という言葉があったら、即座に余事象の利用を疑う！
- 思考のコツ：「直接求める場合分け」と「逆パターン（余事象）の場合分け」の数を比べ、数が少ない方で計算する！
余事象マスターになると、確率の問題を解くスピードが何倍にも跳ね上がります。問題文の「キーワード」を絶対に見逃さないようにしましょう！
次回は、複数の事象が組み合わさったときの基本法則「第42回：和法則と積法則（互いに排他・独立な試行の確率）」を解説します！
参考PR
- 安さ＆予備校級の講義動画なら 👉 [スタディサプリ高校講座]
- 定期テスト＆推薦入試対策なら 👉 [進研ゼミ高校講座]
- 難関大突破＆記述・添削なら 👉 [Ｚ会の通信教育]
コメント