【数Ⅰ：第45回】期待値の定義と計算方法｜ゲームの得点や宝くじの例題で分かりやすく解説！

「『期待値』って言葉は聞くけれど、具体的にどうやって計算するの？」

「確率変数の分布表（確率分布表）の書き方がよく分からない……」

場合の数から始まった「場合の数と確率」単元も、いよいよ今回が最終回です！

最後を締めくくる「期待値（Expected Value）」は、あるゲームや試行を行ったときに「平均してどれくらいの値（得点や賞金など）が得られると期待できるか」を表す超実用的な概念です。

今回は、期待値の基礎定義から計算手順（確率分布表の作成）、そしてテスト・共通テスト頻出の「宝くじやゲームの得点の計算問題」まで分かりやすく徹底解説します！

1. 期待値（Expected Value）とは？

期待値とは、簡単に言えば「1回あたりの平均値（期待できる見込みの値）」のことです。

たとえば、サイコロを1回投げたときに出る目の平均（期待値）はいくらになるでしょうか？

「1から6の中間だから 3.5 かな？」と直感的に思った方、大正解です！

この「3.5」という値を数学的に計算するのが期待値の考え方です。

2. 期待値の定義と計算公式

取り得る値を x1​,x2​,…,xn​ とし、それぞれの値をとる確率を p1​,p2​,…,pn​ とします。

💡 【期待値の計算公式】

期待値 E は、**「（取る値）×（その値になる確率）」の総和（合計）**で求められます。

E=x1​p1​+x2​p2​+⋯+xn​pn​

※ 確率の合計は必ず p1​+p2​+⋯+pn​=1 になります。

【ステップ】期待値を求める3手順

期待値の問題を解くときは、以下の「確率分布表（表）」を作成するのが絶対の鉄則です！

【確率分布表の基本形】
値 (x)   │  x₁  │  x₂  │ ... │  xₙ  │ 計
─────────┼──────┼──────┼─────┼──────┼───
確率 (p) │  p₁  │  p₂  │ ... │  pₙ  │ 1

1. 取る値（x）のバリエーションをすべて書き出す
2. それぞれの値になる確率（p）を計算する（合計が 1 になるか確認！）
3. 「縦に掛け算」して、それらを「横にすべて足し合わせる」

💡【例】1つのサイコロの目の期待値

1つのサイコロを投げたときに出る目の期待値を、公式を使って計算してみましょう。

• 各目の出る確率：すべて 61​

E=1×61​+2×61​+3×61​+4×61​+5×61​+6×61​

E=61+2+3+4+5+6​=621​=3.5

【答え】 3.5

3. 【実践例題】テスト・入試で出る計算パターン

【例題1】ゲームの得点と期待値（基本）

赤玉 3個、白玉 2個が入った袋から同時に 2個の玉を取り出す。 取り出した赤玉 1個につき 100点、白玉 1個につき 50点が得られるゲームを行う。 このゲームで得られる得点の期待値を求めよ。

解答・解説

1. 取り出し方の総数 N を求める5個から 2個を選ぶ組み合わせです。N=5​C2​=10通り
2. 得点パターンとそれぞれの確率を求める取り出す赤玉の個数は「0個」「1個」「2個」の 3パターン あります。
   • (i) 赤0個（白2個）の場合：得点 100点 (50×2)確率： 103​C0​×2​C2​​=101​
   • (ii) 赤1個・白1個の場合：得点 150点 (100×1+50×1)確率： 103​C1​×2​C1​​=103×2​=106​
   • (iii) 赤2個（白0個）の場合：得点 200点 (100×2)確率： 103​C2​×2​C0​​=103​
3. 確率分布表を作成する得点 x (点)100150200計確率 p101​106​103​1010​=1
4. （値）×（確率）を計算して合計するE=100×101​+150×106​+200×103​E=10100+900+600​=101600​=1600点

【答え】 160点

【例題2】宝くじの損得（応用）

1枚 200円 で販売されている宝くじがある。 1000枚 のうち、

• 1等 10000円 が 1本
• 2等 1000円 が 10本
• 3等 100円 が 100本

が入っている（はずれは 889本で 0円）。 1枚あたりの賞金の期待値を求めよ。また、この宝くじを買うのは**「得」か「損」か**判定せよ。

解答・解説

1. 賞金ごとの確率を整理して表にする賞金 x (円)1000010001000計本数1本10本100本889本1000本確率 p10001​100010​1000100​1000889​1
2. 期待値を計算するE=10000×10001​+1000×100010​+100×1000100​+0×1000889​E=100010000+10000+10000+0​=100030000​=30円
3. 損得を判定する
   • くじの購入価格： 200円
   • 賞金の期待値： 30円
   期待値（30円）が購入価格（200円）を下回っているため、1枚買うごとに平均して 170円 損をする計算になります。

【答え】 期待値：30円 / 損得：損である

4. まとめと「場合の数と確率」全体の総復習

期待値のポイント

• 期待値＝「1回あたりの見込み平均値」
• 計算の手順：
  1. 値のパターンをすべて出し、確率を求める
  2. 確率分布表（表）を作る
  3. 「（値）×（確率）」を計算してすべて足し合わせる！

🎉 「場合の数と確率」単元 完結！

全45回にわたって解説してきた「場合の数と確率」の主要テーマを振り返っておきましょう。

1. 基本のカウント：樹形図・和の法則・積の法則
2. 順列（P）：一列に並べる・円順列・重複順列・同じものを含む順列
3. 組み合わせ（C）：選ぶだけ・組分け・二項定理
4. 確率の基礎：同様に確からしい・区別の徹底・余事象（1−P）
5. 確率の応用：加法定理・反復試行（n​Cr​pr(1−p)n−r）・条件付き確率（PA​(B)）・期待値

場合の数と確率は、「解法パターン（型）の引き出しをどれだけ持っているか」で得点力が決まる単元です。

解き方に迷ったときは、ぜひこれまでの記事に戻って復習してみてくださいね！

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