【数A：第33回】整数の性質の総仕上げと応用問題｜整数の性質⑥（整数分野の総合演習）

数学A

2026.09.21

「これまでに学んだ『互除法』『合同式』『不定方程式』『素因数分解』、どれをどのタイミングで使えばいいのか迷ってしまう……」
「実際の入試問題では、複数の手法を組み合わせてどうやって解き進めればいいの？」

高校数学A「整数の性質」の最終回である第6回は、これまでの総仕上げとして、整数問題の4大アプローチの使い分けと、入試で頻出する融合問題・応用テクニックを徹底解説します！

バラバラだった知識を一本の強力な糸で結びつけ、どんな整数問題が出題されてもアプローチの選択に迷わない万全の実力を完成させましょう！

1. 整数問題の 4 大アプローチ（武器の使い分けマップ）

整数問題に出くわしたとき、どの手法を選択すべきかを判断するための基準を整理します。

主な手法・武器	どんなとき・どんな目的に使うか	代表的なキーワード
① 倍数・因数分解	式を変形して「積の形」に持ち込み、約数・倍数の関係に帰着させる	「整数解」「倍数であることを証明せよ」
② 合同式（余り・周期）	巨大な数の累乗の余りや、数字の規則性を調べるときに計算を爆発的にラクにする	「〜で割った余りを求めよ」「下2桁」
③ 互除法・不定方程式	文字が2つで方程式が1つのとき、特殊解を経てすべての整数解（一般解）を暴き出す	「$ax+by=c$ を満たす組」「最大公約数」
④ 不等式による絞り込み	文字同士の大小関係や範囲から、可能性のある候補を有限個に絞り込む	「自然数 $x, y$ の組をすべて求めよ」

ある自然数を 3 で割ると 2 余り、5 で割ると 3 余るような自然数のうち、100 に最も近いものを求めよ。解答・解説を表示する

1. 条件を一次不定方程式（または合同式）の形に翻訳する
もとの自然数を $N$ とすると、条件は次のように表せる： $$N = 3x + 2 \quad (x \text{ は整数})$$ $$N = 5y + 3 \quad (y \text{ は整数})$$

2. 不定方程式を作って特殊解を見つける $$3x + 2 = 5y + 3 \implies 3x – 5y = 1$$

この方程式の特殊解の一組は、目で見つけると $(x_0, y_0) = (2, 1)$ である。
一般解を求めると： $$x = 5k + 2 \quad ($k$ は整数)$$

これを $N = 3x + 2$ に代入すると、$N$ の一般形が得られる： $$N = 3(5k + 2) + 2 = 15k + 8$$

（確認：15で割ると 8 余る数、すなわち 3 で割ると 2 余り、5 で割ると 3 余る数が正しく表現できている！）

3. 100 に最も近い値を絞り込む
$N = 15k + 8$ で $100$ に近いものを探す：

$98$ と $100$ の差は $2$、$113$ と $100$ の差は $13$ であるため、100 に最も近い自然数は $98$ である。

【答え】 98

方程式 $xy – 2x – 3y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。解答・解説を表示する

1. 強制的に因数分解の形を作る
左辺の $xy – 2x – 3y$ に着目し、次のように変形する： $$(x – 3)(y – 2) – 6 = 1$$ $$(x – 3)(y – 2) = 7$$

2. 整数の積の組み合わせに持ち込んで解を絞り込む
$x, y$ は整数なので、$x – 3$ と $y – 2$ も整数である。積が $7$（素数）になる組み合わせは、次の 4 パターンに限られる：

$x – 3$	$y – 2$	$x$	$y$
$1$	$7$	$4$	$9$
$7$	$1$	$10$	$3$
$-1$	$-7$	$2$	$-5$
$-7$	$-1$	$-4$	$1$

【答え】 $(x, y) = (4, 9), (10, 3), (2, -5), (-4, 1)$

整数の 4 大アプローチ：** 「因数分解」「合同式」「互除法・不定方程式」「不等式による絞り込み」のどれを使うべきか、問題の形から見極める！
積の形への変形：** 「文字が2つで方程式が1つ」の非線形方程式は、強制因数分解（$(x-a)(y-b) = K$）に持ち込んで約数のペアでしらみつぶしに解く！
余りの条件の処理：** 複数の余り条件がある場合は、連立方程式（または不定方程式）に翻訳して一般解を導き出す！

高校数学A「整数の性質」の全6回を通じて、約数・倍数からユークリッドの互除法、合同式、不定方程式、n進法、そして総合演習までのすべての基本と応用が完璧に整理されました！

整数の美しい論理構造を武器に、どんな難問でも自信を持ってスラスラ解き進めていきましょう！