「順列の記号 $_n\text{P}_r$ ってどういう意味？」
「階乗（記号：!）の使い方や 0! が 1 になる理由がよく分からない……」
高校数学A「場合の数と確率」の第20回（第3回）は、並べ方を計算するための強力なツール「順列（Permutation）」と記号 $_n\text{P}_r$、そして「階乗（Factorial）」について解説します！
順列の考え方は、前回の「積の法則」を具体的に公式化したものです。「なぜこの計算式になるのか」という仕組みを理解し、自由自在に計算できるようになりましょう！
1. 順列（Permutation）とは？
いくつかの異なるもののなかから、いくつかを選んで「順番を考慮して一列に並べる」並べ方のことを順列と呼びます。
💡 【順列の記号 $_n\text{P}_r$ の意味】
異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を選んで 1 列に並べる順列の総数は：
$$\mathbf{_n\text{P}_r = \underbrace{n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-r+1)}_{r \text{ 個の掛け算}}}$$
※ ただし $0 \le r \le n$
考え方の仕組み（樹形図と席の考え方）：
$r$ 個の空席があるとイメージしてください。
* 1番目の席の選び方： $n$ 通り
* 2番目の席の選び方： 残りから $(n-1)$ 通り
* 3番目の席の選び方： 残りから $(n-2)$ 通り
$\vdots$
これらをすべて「連続して選ぶ」ため、積の法則によって掛けていきます。掛け算する個数がちょうど $r$ 個 になるのがポイントです！
計算の具体例：
* $_5\text{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ （$5$ から順に小さくして $3$ 個掛ける）
* $_7\text{P}_2 = 7 \times 6 = 42$ （$7$ から順に小さくして $2$ 個掛ける）
2. 階乗（!）と 0! の定義
異なる $n$ 個のものを「すべて（$n$ 個全部）」一列に並べる場合の数は $_n\text{P}_n$ となり、$n$ から $1$ までのすべての整数を掛け合わせることになります。これを $n$ の階乗（かいじょう）と呼び、記号 $n!$ で表します。
💡 【階乗の定義】
$$\mathbf{n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1}$$
特別な定義（約束事）：
* $\mathbf{0! = 1}$ （0 の階乗は 1 とする）
* $\mathbf{_n\text{P}_0 = 1}$ （n 個から 0 個選んで並べるのは 1 通りとする）
階乗記号を用いると、順列 $_n\text{P}_r$ は次のような分数で表すこともできます：
$$_n\text{P}_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$
3. 【実践例題】順列の基本計算と応用問題
【例題1】基本のカード並べ（基本）
$1, 2, 3, 4, 5$ の数字が書かれた 5 枚のカードがある。ここから 3 枚を選んで 3 桁の整数を作るとき、作れる整数は全部で何通りあるか。 解答・解説を表示する
1. 順列の公式を適用する
「異なる 5 枚から 3 枚を選んで並べる」ので、$_5\text{P}_3$ の計算になります。
$$_5\text{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 \text{ 通り}$$
【答え】 $\mathbf{60}$ 通り
【例題2】条件がついた順列（「0」を含む整数）
$0, 1, 2, 3, 4$ の 5 個の数字から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作るとき、整数は全部で何個できるか。 解答・解説を表示する
1. 最高位（百の位）の条件に着目する
3 桁の整数を作るとき、百の位に $0$ を置くことはできません！
したがって、「制約の厳しい場所から先に決める」のが基本鉄則です。
- 百の位の決め方： $0$ 以外の $1, 2, 3, 4$ の $4$ 通り
- 十の位・一の位の決め方： 残った 4 個の数字（$0$ を含む）から 2 個を選んで並べるので $_4\text{P}_2$ 通り
2. 積の法則で計算する
$$4 \times _4\text{P}_2 = 4 \times (4 \times 3) = 4 \times 12 = 48 \text{ 個}$$
【答え】 $\mathbf{48}$ 個
4. まとめ
- 順列 $_n\text{P}_r$： 異なる $n$ 個から $r$ 個を順序を気にして並べる（$n$ から順に $r$ 個掛ける）。
- 階乗 $n!$： $n$ 個すべてを並べる（$n$ から $1$ まで掛ける）。 $0! = 1$ に注意！
- 条件付きの解法： 「$0$ を含む最高位」などの制約がある場所を先に決めてから残りを順列で計算する！
順列の基本計算がマスターできました！
次回は「【数A：第4回】隣り合う・隣り合わない順列｜条件付き並べ方の決定版テクニック」を解説します！
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