「$n^r$ なのか $r^n$ なのか、どっちが基数（底）でどっちが指数か分からなくなる……」
「部屋割り問題で『空室があってよい』ときと『空室を作ってはいけない』ときの解き方のちがいは？」
高校数学A「場合の数と確率」の第23回（第6回）は、同じものを何個でも繰り返し選ぶことができる「重複順列（Permutation with repetition）」を解説します！
公式を単に丸暗記するのではなく、「えらぶ側（主体）」と「選ばれる対象（選択肢）」の関係を整理して、指数計算の迷いをゼロにしていきましょう！
1. 重複順列とは？（$n^r$ の仕組み）
異なる $n$ 種類のものから、重複を許して（何回でも同じものを選んで） $r$ 個選んで一列に並べる並べ方を重複順列といいます。
💡 【重複順列の公式】
異なる $n$ 種類のものから重複を許して $r$ 個並べる重複順列の総数は：
$$\mathbf{n^r \quad \text{通り}}$$
底と指数の見分け方（迷わないためのコツ）：
「$n^r$ なのか $r^n$ なのか」で迷ったら、「1つ1つの選択肢が何通りあるか」に着目します。
例えば、$r$ 個の場所（または $r$ 人）のそれぞれに対して、常に $n$ 通りの選び方があるとします。
1番目 2番目 3番目 r番目 [ n通り ]×[ n通り ]×[ n通り ] × ... × [ n通り ] ＝ n^r 通り
積の法則より、$n$ を $r$ 回掛け合わせるため $\underbrace{n \times n \times \dots \times n}_{r \text{個}} = n^r$ となります。
つまり、「選択肢の数（$n$）」が底（下）になり、「決める回数・人数・場所（$r$）」が指数（上）になります！
2. 部屋割り問題のパターン分類
重複順列の代表的な応用問題が「部屋割り」です。条件によってアプローチが変わるため、2つのパターンを整理しておきましょう。
パターンA：空室があってもよい場合
全員が「どの部屋に入るか」を自由に選べます。1人あたりの選択肢が「部屋の数（$n$通り）」となるため、人数を $r$ 人とすると、単純な重複順列 $n^r$ 通り で一発計算できます。
パターンB：空室があってはいけない（全員がいずれかの部屋に入る）場合
全体の場合の数（$n^r$）から、「1つの部屋に全員が固まってしまう（空室ができる）不適なパターン」を引く（余事象の考え方）か、後で学ぶ「組分け」の考え方でアプローチします。
3. 【実践例題】重複順列の演習
【例題1】フラグ・信号の作成（基本）
赤・白・青の 3 種類の旗がある。これらの旗を何回でも使って 4 回続けて揚げるとき、作れる信号は全部で何通りあるか。 解答・解説を表示する
1. 1回ごとの選択肢を確認する
1回目、2回目、3回目、4回目のそれぞれにおいて、旗の選び方は 3 通り（赤・白・青）あります。
2. 積の法則で計算する
3 通りの選択肢を 4 回繰り返すので：
$$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \text{ 通り}$$
【答え】 $\mathbf{81}$ 通り
【例題2】部屋割りと空室の制限（応用）
5 人の生徒が A, B の 2 つの部屋に入る。次のような部屋割りは何通りあるか。
(1) 空室ができてもよい場合
(2) どの部屋にも少なくとも 1 人は入る（空室をつくらない）場合 解答・解説を表示する
(1) 空室ができてもよい場合
5 人の生徒それぞれが「部屋 A」または「部屋 B」の 2 通り の選択肢を持っています。
$$2^5 = 32 \text{ 通り}$$
(2) 空室をつくらない場合
(1) で求めた全 32 通りのうち、空室ができるのは以下の 2 つの極端なケースのみです。
- 全員が部屋 A に入る（部屋 B が空室）： 1 通り
- 全員が部屋 B に入る（部屋 A が空室）： 1 通り
したがって、全パターンから不適な 2 通りを引き算します：
$$32 – 2 = 30 \text{ 通り}$$
【答え】 (1) $\mathbf{32}$ 通り / (2) $\mathbf{30}$ 通り
4. まとめ
- 重複順列の基本： （選択肢の数）$^{\text{試行回数や人数}}$ ＝ $n^r$。
- 迷ったときの鉄則： 1人（1箇所）あたりの「選択肢が何通りあるか」を書いて掛け合わせる！
- 部屋割り（空室NG）： 「全体（$n^r$）」から「全員が1つの部屋に偏る場合」を差し引く！
重複順列の指数構造と解法アプローチがクリアになりました！
次回は「【数A：第24回】同じものを含む順列｜同じカード・文字を並べる公式 $\frac{n!}{a!b!c!}$ の活用」を解説します！
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