「『独立』って数学的にどういう意味？」
「掛け算をしていい場合と、掛けちゃダメな場合の違いがわからない……」
高校数学A「場合の数と確率」の第31回（第14回）は、複数の試行が絡む超重要テーマ「独立な試行（Independent Trials）の確率」を解説します！
サイコロとコインを同時に投げるような「互いに影響を及ぼさない」試行の計算ルールを正しく理解し、確率の掛け算（積の法則）をマスターしましょう！
1. 「独立な試行」とは？
2 つ以上の試行を行うとき、「一方の結果が、もう一方の結果に一切影響を与えない」関係にあるとき、これらの試行は独立（どくりつ）であるといいます。
💡 【具体例で理解する独立・独立でないの違い】
* 独立な試行の例：
「サイコロを 1 回投げ、続けてコインを 1 回投げる」
$\rightarrow$ サイコロで何が出ても、コインの表裏の出やすさ（確率 $\frac{1}{2}$）は変わりません。
* 独立でない（従属な）試行の例：
「10 本中 3 本のあたりが入ったくじを、元に戻さずに A 君、B 君の順に引く」
$\rightarrow$ A 君があたりを引くか引かないかで、B 君が引く時点のあたりの残数が変わり、確率に影響します。
2. 独立な試行の確率の計算公式
試行 $T_1$ と試行 $T_2$ が互いに独立であるとき、$T_1$ で事象 $A$ が起こり、かつ $T_2$ で事象 $B$ が起こる確率 $P(A \cap B)$ は、それぞれの確率の掛け算（積）で求められます。
💡 【独立な試行の確率の公式（乗法定理）】
2 つの試行が独立であるとき：
$$\mathbf{P(A \cap B) = P(A) \times P(B)}$$
※ 試行が 3 つ以上（$T_1, T_2, T_3, \dots$）に増えても、すべて独立であれば単純にすべて掛け算します：
$$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$$
3. 【実践例題】独立な試行の演習
【例題1】基本問題（異なる試行の組み合わせ）
1 個のサイコロと 1 枚の硬貨を同時に投げるとき、サイコロは「3 以上の目」が出で、硬貨は「表」が出る確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. それぞれの試行が独立か確認する
サイコロの目と硬貨の表裏は互いに影響を与えないため、独立な試行です。
2. それぞれの確率を個別で求める
- 事象 $A$（サイコロで 3 以上の目が出る）： 目は $\{3, 4, 5, 6\}$ の 4 通り $\rightarrow P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
- 事象 $B$（硬貨で表が出る）： $P(B) = \frac{1}{2}$
3. 積の公式で掛け合わせる
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$
【答え】 $\mathbf{\frac{1}{3}}$
【例題2】復元抽出と和事象の組み合わせ（応用）
袋 A には「赤玉 3 個、白玉 2 個」、袋 B には「赤玉 2 個、白玉 4 個」が入っている。
袋 A と袋 B からそれぞれ 1 個ずつ玉を取り出すとき、取り出した 2 個の玉が「同じ色」になる確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 「同じ色」となるパターンを分解する
「2 個とも同じ色」になるのは、次の 2 つのパターンがあります。
- パターン [1]： A から赤玉、B から赤玉を取り出す（両方赤）
- パターン [2]： A から白玉、B から白玉を取り出す（両方白）
2. 各パターンの確率を独立な試行として計算する
- パターン [1]（両方赤）の確率：
A から赤を引く確率は $\frac{3}{5}$、B から赤を引く確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。
独立なので掛け算します $\rightarrow \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{15}$ - パターン [2]（両方白）の確率：
A から白を引く確率は $\frac{2}{5}$、B から白を引く確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。
独立なので掛け算します $\rightarrow \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$
3. パターン同士が「排反」であることを確認して足す（加法定理）
パターン [1] とパターン [2] が同時に起こることはない（排反）ため、最後に確率を足し合わせます。
$$P = \frac{3}{15} + \frac{4}{15} = \frac{7}{15}$$
【答え】 $\mathbf{\frac{7}{15}}$
4. まとめ
- 独立な試行： お互いの結果にまったく影響しない関係。
- 確率の計算： 独立であれば、各事象の確率を掛け算する（$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$）。
- 解法の構成（超重要）：
- 一連の流れ（かつ）のときは 掛け算（独立）！
- 別々のパターン（または）のときは 足し算（排反）！
独立な試行の計算ルールと「掛け算・足し算使い分けの原則」がマスターできました！
次回は「【数A：第32回】反復試行の確率｜ $_n\text{C}_r p^r (1-p)^{n-r}$ 公式の意味と解き方」を解説します！
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