「三角形の中に引かれた線の長さや、辺の比を求める問題を見ると、どの補助線を引けばいいか分からなくなる……」
「角の二等分線定理の公式（内分・外分）をすぐにど忘れしてしまう！」
高校数学Aの新たな重要単元「図形の性質」の第1回は、平面図形の基本である三角形の辺と角の比の関係、そして入試で最も頻出する武器の一つである「角の二等分線定理（内分・外分）」を徹底解説します！
図形的な直感に頼るだけでなく、数式と比の性質を使ってスピーディーに長さを割り出すスマートな手法をマスターしましょう！
1. 三角形の辺の比と平行線・中点連結定理
中学校でもおなじみの「平行線と線分の比の定理」と「中点連結定理」は、すべての図形問題の土台となる基本です。
💡 【平行線と線分の比の定理】
三角形の 2 辺に平行な線を引いたとき、切り取られる線分の比は等しくなります。
$$\text{AB} : \text{AD} = \text{AC} : \text{AE} = \text{BC} : \text{DE}$$
【中点連結定理】
三角形の 2 辺の中点を結んだ線分は、残りの辺に平行であり、その長さは半分になる。
2. 角の二等分線定理（内分と外分）
三角形の頂点の角を二等分する直線が、対辺（またはその延長線）をどのような比に分けるかを表す超重要定理です。
💡 【角の二等分線定理（内分）】
$\triangle ABC$ の頂点 $A$ の内角の二等分線と、対辺 $BC$（またはその延長）との交点を $D$ とすると、次が成り立ちます。
$$\mathbf{AB : AC = BD : DC}$$
【外角の二等分線定理（外分）】
頂点 $A$ の外角の二等分線と、対辺 $BC$ の延長線との交点を $D$ とすると、次が成り立ちます。
$$\mathbf{AB : AC = BD : DC}$$ （※ このとき点 $D$ は辺 $BC$ を外分する点になります）
3. 【実践例題】角の二等分線の活用と比の計算
【例題1】内角の二等分線による長さの決定
$\triangle ABC$ において、$AB = 6, AC = 4, BC = 5$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、線分 $BD$ の長さを求めよ。 解答・解説を表示する1. 角の二等分線定理の比にあてはめる
定理「$AB : AC = BD : DC$」より、線分 $BD$ と $DC$ の比は次のようになる： $$BD : DC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2$$2. 全体の長さから具体的な長さを計算する
辺 $BC$ の長さは $5$ であり、これが $3 : 2$ に内分されているため、線分 $BD$ の長さは： $$BD = BC \times \frac{3}{3 + 2} = 5 \times \frac{3}{5} = \mathbf{3}$$【答え】 $BD = 3$
【例題2】外角の二等分線
$\triangle ABC$ において、$AB = 8, AC = 5, BC = 6$ とする。$\angle A$ の外角の二等分線と直線 $BC$ の交点を $D$（点 $C$ 側）とするとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。 解答・解説を表示する1. 外角の二等分線の比の公式を使う
外角の二等分線定理より、$AB : AC = BD : DC$ が成り立つ： $$8 : 5 = BD : DC$$2. $CD = x$ と置いて方程式を立てる
$CD = x$ とすると、$BD = BC + CD = 6 + x$ と表せる。これを比の式に代入する： $$8 : 5 = (6 + x) : x$$ 内側の積と外側の積が等しいことから： $$8x = 5(6 + x)$$ $$8x = 30 + 5x$$ $$3x = 30 \implies x = 10$$【答え】 $CD = 10$
4. まとめ
- 平行線と比： 平行線があれば、錯角・同位角に注目して相似や比の関係をすばやく見抜く！
- 内角の二等分線： $\mathbf{AB : AC = BD : DC}$ の形を暗記し、全体の長さを比で配分して求める！
- 外角の二等分線： 外側の交点に対しても同じ比の関係（$AB : AC = BD : DC$）が成り立つ！
三角形の辺と角の比、および角の二等分線定理の基本がすっきりと整理できました！
次回は「【数A：第2回】三角形の内心・外心・重心・垂心｜図形の性質②（4つの重要なおどる中心の性質）」を解説します！
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