$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ のどれか1つだけ分かっているとき、残りの2つはどうやって求めるの？」
「相互関係の公式って3つもあるけど、丸暗記しなきゃダメ？」
前回の「三角比の定義」に続き、今回学習するのは三角比どうしを繋ぐ超重要ツール「三角比の相互関係」です。
この3つの公式を使いこなせるようになると、$\sin\theta$ の値から $\cos\theta$ や $\tan\theta$ を自由自在に計算できるようになります。
今回は、公式の仕組み（導出）から、実際の解き方の手順、そして計算ミスを防ぐ符号の判断基準までわかりやすく徹底解説します！
1. 三角比の相互関係「3つの公式」
まず覚えるべき公式は以下の3つです。どれも頻出中の頻出なので、必ず頭に入れておきましょう！
覚えるべき3つの公式
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$
※ $(\sin\theta)^2$ のことを、数学では通常 $\sin^2\theta$ と表記します（$\sin\theta^2$ と書くと「角度を2乗した」意味になってしまうため）。
2. なぜこの公式が成り立つ？（超シンプルな導出）
公式をただ丸暗記するのではなく、「なぜ成り立つのか」を直角三角形で確認しておくと忘れにくくなります！
斜辺 $r$、底辺 $x$、対辺 $y$ の直角三角形を考えます。
定義より：
$$\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$
① $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の証明
$\sin\theta$ を $\cos\theta$ で割ってみます。
$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}} = \frac{y}{x} = \tan\theta$$
（分母と分子に $r$ をかけると、すぐに $\frac{y}{x}$ になりますね！）
② $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の証明
直角三角形といえば「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」です。
$$x^2 + y^2 = r^2$$
この両辺を $r^2$ で割ると：
$$\left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 = 1$$
ここで $\frac{x}{r} = \cos\theta$、$\frac{y}{r} = \sin\theta$ なので代入すると：
$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \quad \implies \quad \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
三平方の定理そのものであることが分かります！
③ + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ の証明
公式②（$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$）の両辺を $\cos^2\theta$ で割るだけで作れます！
$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
ここで $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ なので：
$$\tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad \implies \quad 1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
💡 公式の覚え方アドバイス
公式③は忘れやすい公式ですが、**「公式②の両辺を $\cos^2\theta$ で割れば自分で作れる」**と覚えておけば、万が一忘れてもテスト中に1秒で復元できます！
3. 【実践】1つの三角比から残りを求める解き方
相互関係の公式を使う典型問題に挑戦してみましょう。
※ここでは $\theta$ は鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）とします。
（鋭角のとき、$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$ の値はすべてプラス（正）になります）
【例題1】 $\sin\theta$ から $\cos\theta, \tan\theta$ を求める
$\theta$ は鋭角とする。 $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
解答・解説
ステップ1： $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ で $\cos\theta$ を求める
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\theta = 1$$
$$\frac{9}{25} + \cos^2\theta = 1$$
$$\cos^2\theta = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
$\theta$ は鋭角なので $\cos\theta > 0$ です。
$$\cos\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5}}$$
ステップ2： $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ で $\tan\theta$ を求める
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \mathbf{\frac{3}{4}}$$
【答え】 $\cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}$
【例題2】 $\tan\theta$ から $\cos\theta, \sin\theta$ を求める
$\theta$ は鋭角とする。 $\tan\theta = 2$ のとき、$\cos\theta$ と $\sin\theta$ の値を求めよ。
解答・解説
ステップ1： $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ で $\cos\theta$ を求める
$$1 + 2^2 = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
$$5 = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad \implies \quad \cos^2\theta = \frac{1}{5}$$
$\theta$ は鋭角なので $\cos\theta > 0$ です。
$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \quad \left( \text{有理化して } \frac{\sqrt{5}}{5} \text{ でも可} \right)$$
ステップ2： $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 変形版で $\sin\theta$ を求める
$\sin\theta = \tan\theta \times \cos\theta$ と変形して代入します。
$$\sin\theta = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \mathbf{\frac{2}{\sqrt{5}}}$$
【答え】 $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$
4. 【裏ワザ】直角三角形を描いて求める別解
実は、マーク式試験や答えだけを素早く出したい場合、「直角三角形を描く」という裏ワザが非常に有効です！
たとえば 【例題1】 のように $\sin\theta = \frac{3}{5}$（$\frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}$）なら：
- 斜辺が $5$、高さが $3$ の直角三角形を紙に描きます。
- 三平方の定理より、底辺 $= \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{16} = 4$ と計算します。
- できた三角形から定義通りに読み取ります：
- $\cos\theta = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}} = \frac{4}{5}$
- $\tan\theta = \frac{\text{高さ}}{\text{底辺}} = \frac{3}{4}$
※記述式テストでは公式を使った解答が求められますが、検算やマーク模試ではこの図形アプローチが最速・最強になります！
5. まとめ
- 三角比の相互関係「3大公式」
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$
- 公式②は三平方の定理、公式③は公式②を $\cos^2\theta$ で割ったもの！
- 1つの三角比が分かれば、相互関係の公式を使って残り2つの三角比をすべて復元できる！
次回は、三角比の適用範囲を $90^\circ$ 超えの図形にまで一気に広げる「第21回：90°〜180°の三角比と単位円」を解説します！
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