こんにちは！高校数学の論理編、第8回のテーマは「逆・裏・対偶（たいぐう）」と「背理法（はいりほう）」です。
数学の証明問題で「直接証明するのが難しい…」という場面に出くわしたことはありませんか？
そんなときに大活躍するのが、今回学ぶ「対偶を使った証明」と「背理法」です。
概念を丸暗記するのではなく、「なぜそうなるのか」という仕組みからスッキリ理解していきましょう！
1. 逆・裏・対偶とは？
命題 $p \Longrightarrow q$（$p$ ならば $q$）に対して、条件の順番を入れ替えたり、否定（$\overline{p}$ や $\overline{q}$）にしたりしてできる新しい命題のことを、それぞれ逆・裏・対偶といいます。
まずはそれぞれの関係性を図で整理してみましょう。
- 元の命題：$p \Longrightarrow q$ （$p$ ならば $q$）
- 逆（ぎゃく）：$q \Longrightarrow p$ （$q$ ならば $p$）※仮定と結論を入れ替える
- 裏（うら）：$\overline{p} \Longrightarrow \overline{q}$ （$p$ でないならば $q$ でない）※それぞれを否定する
- 対偶（たいぐう）：$\overline{q} \Longrightarrow \overline{p}$ （$q$ でないならば $p$ でない）※入れ替えて否定する
関係性の図解
Plaintext
元の命題 : p ⇒ q ──────【 逆 】──────> 逆 : q ⇒ p
│ │
【 裏 】 【 裏 】
│ │
▼ ▼
裏 : p̄ ⇒ q̄ ──────【 逆 】──────> 対偶 : q̄ ⇒ p̄
※「元の命題」と「対偶」は【対偶の関係】（対角線）
2. 真偽の一致（超重要ポイント！）
ここが一番大切なポイントです。
元の命題の真偽と、対偶の真偽は必ず一致する！
- 元の命題が真なら、対偶も絶対に真
- 元の命題が偽なら、対偶も絶対に偽
※注意：「逆」や「裏」の真偽は、元の命題の真偽とは一致するとは限りません。
日常の例で考えてみよう
- 元の命題：「東京に住んでいる $\Longrightarrow$ 日本に住んでいる」（真）
- 逆：「日本に住んでいる $\Longrightarrow$ 東京に住んでいる」（偽：大阪や福岡に住んでいるかもしれない）
- 裏：「東京に住んでいない $\Longrightarrow$ 日本に住んでいない」（偽：大阪に住んでいるかもしれない）
- 対偶：「日本に住んでいない $\Longrightarrow$ 東京に住んでいない」（真：日本にいないなら当然東京にもいない）
直感的にも、元の命題と対偶が同じことを言っているのが分かりますね！
3. 対偶を利用した証明
「元の命題と対偶の真偽が一致する」という性質を利用すると、直接証明するのが難しい命題を、対偶に変形して証明することができます。
例題
$n$ を整数とするとき、命題「$n^2$ が奇数ならば $n$ は奇数である」を証明せよ。
【考え方】
直接証明しようとすると、$n^2 = 2k + 1$ とおいて $n$ を求めることになり、ルート（$\sqrt{2k+1}$）が出てきて大変です。
そこで、この命題の対偶を考えてみます。
- 対偶：「$n$ が偶数（奇数でない）ならば、$n^2$ は偶数（奇数でない）である」
これなら簡単に計算できそうですね！
【証明】
元の命題の対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2$ は偶数である」である。
$n$ が偶数のとき、整数 $k$ を用いて $n = 2k$ と表せる。
このとき、
$$n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$$
$2k^2$ は整数なので、$n^2$ は偶数である。
よって対偶が真であるから、元の命題も真である。（証明終了）
4. 背理法（はいりほう）とは？
背理法とは、証明したい結論をあえて「成り立たない（否定）」と仮定し、そこから矛盾を導き出すことで、「仮定が間違っていた＝元の結論が正しい」と証明する方法です。
背理法の進め方 3ステップ
- 結論を否定する（「〜でない」と仮定する）
- 論理的に計算・思考を進める
- 矛盾（あり得ないこと）を導く $\Longrightarrow$ したがって元の結論が正しい！
5. 背理法を使った定番問題：「$\sqrt{2}$ は無理数である」の証明
高校数学で最も有名な背理法の証明に挑戦してみましょう。
例題
$\sqrt{2}$ が無理数であることを証明せよ。ただし、「整数 $a, b$ について、$a^2$ が 2 の倍数ならば $a$ も 2 の倍数である」ことを用いてよい。
【証明】
$\sqrt{2}$ が無理数でない（すなわち有理数である）と仮定する。
このとき、互いに素な（これ以上約分できない）正の整数 $a, b$ を用いて、
$$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$$
と表すことができる。
両辺を 2 乗して分母を払うと、
$$2 = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = 2b^2 \quad \cdots ①$$
①より、$a^2$ は 2 の倍数である。
よって、$a$ も 2 の倍数となるので、整数 $k$ を用いて $a = 2k$ と表せる。
これを ① に代入すると、
$$(2k)^2 = 2b^2 \implies 4k^2 = 2b^2 \implies b^2 = 2k^2$$
これより、$b^2$ も 2 の倍数となり、$b$ も 2 の倍数となる。
すると、$a$ と $b$ はともに 2 の倍数となり、「$a, b$ は互いに素である」という前提に矛盾する。
したがって、最初の仮定「$\sqrt{2}$ が有理数である」は誤りであり、$\sqrt{2}$ は無理数である。（証明終了）
まとめ
今回のポイントを整理しましょう！
- 対偶の真偽は元の命題と必ず一致する（逆や裏は一致するとは限らない）
- 「〜でない」「少なくとも1つは〜」といった表現がある命題は、対偶証明や背理法を疑う！
- 背理法は「結論を否定」して「矛盾」を突きつける最強の証明法！
証明問題はパズルのようなものです。直接攻めるのが難しいときは、ぜひ「対偶」や「背理法」という裏ルートを試してみてくださいね！
次回は「条件と集合（ベン図を使った論理の整理）」について解説します。お楽しみに！
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