「$180^\circ – \theta$ や $90^\circ – \theta$ の公式がたくさんあって、どれにマイナスがつくのか分からなくなる…」
「暗記したはずなのに、テストでどっちが $\sin$ でどっちが $\cos$ かごちゃごちゃになってしまう」
鈍角（$90^\circ \sim 180^\circ$）の三角比を扱うようになると避けて通れないのが、角度を小さく変換する公式（補角・余角の公式）です。
公式の形だけを力任せに暗記しようとすると確実に混乱します。しかし、「単位円」や「直角三角形の反転」という図形的な仕組みさえ一度理解してしまえば、暗記ゼロで必要な公式を1秒で導き出せるようになります！
今回は、$180^\circ – \theta$ と $90^\circ – \theta$ の公式の意味と、一瞬で思い出すための視覚的なコツをわかりやすく徹底解説します！
1. 補角の公式（0^\circ – \theta$ の三角比）
まずは、足して $180^\circ$ になる関係（補角）の公式です。
鈍角の三角比を、計算しやすい鋭角（$0^\circ \sim 90^\circ$）に変換するときに大活躍します。
💡 補角の公式（180° − θ）
- $\sin (180^\circ – \theta) = \sin \theta$
- $\cos (180^\circ – \theta) = -\cos \theta$
- $\tan (180^\circ – \theta) = -\tan \theta$
【単位円で理解】なぜこの公式が成り立つ？
単位円上で、角 $\theta$ と角 $180^\circ – \theta$ の動径を描いて比較してみましょう。
y
| (180°-θ) θ
| * * ← 高さは同じ (y座標)
| \ /
-------+------+-----+------- x
| -x x (左右対称)
2つの点を見比べると、$y$ 軸に関して左右対称（鏡写し）になっていることがわかります。
- $y$ 座標（$\sin$）：左右対称なので高さはまったく同じ $\implies \sin$ はそのまま！
- $x$ 座標（$\cos$）：左右反転するので符号がマイナスになる $\implies \cos$ はマイナスがつく！
- 傾き（$\tan$）：直線の傾きの正負が入れ替わるので符号がマイナスになる $\implies \tan$ はマイナスがつく！
🔥 覚え方のまとめ
「$180^\circ – \theta$ は種類（$\sin, \cos, \tan$）は変わらない！ $\sin$ だけプラスで、他はマイナス！」
2. 余角の公式（^\circ – \theta$ の三角比）
次に、足して $90^\circ$ になる関係（余角）の公式です。
$90^\circ$ 系の公式の特徴は、「$\sin$ と $\cos$ の立場が入れ替わる」ことです。
💡 余角の公式（90° − θ）
- $\sin (90^\circ – \theta) = \cos \theta$
- $\cos (90^\circ – \theta) = \sin \theta$
- $\tan (90^\circ – \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$
【直角三角形で理解】なぜ入れ替わる？
直角三角形の2つの鋭角に注目してみましょう。1つの角が $\theta$ なら、もう1つの角は必ず $90^\circ – \theta$ になります。
/|
斜辺 / | 角 A = θ
(r) / | 角 B = 90° - θ
/θ |
────+
- 角 $\theta$ から見た場合： $\sin \theta = \frac{\text{高さ}}{\text{斜辺}}$
- 角 $90^\circ – \theta$ から見た場合：角 $90^\circ – \theta$ にとっての「底辺」は、角 $\theta$ にとっての「高さ」になります！
つまり、見る角度を $\theta$ から $90^\circ – \theta$ に変えると、「底辺」と「高さ」の位置関係が入れ替わるため、$\sin$ と $\cos$ がチェンジし、$\tan$ は分子と分母が逆（逆数）になるのです。
🔥 覚え方のまとめ
「$90^\circ – \theta$ は $\sin$ と $\cos$ が入れ替わる！ $\tan$ は逆数になる！」
3. 発展：^\circ + \theta$ の公式（よく出る応用）
入試や定期テストで差がつくのが、この $90^\circ + \theta$ の公式です。
💡 90° ＋ θ の公式
- $\sin (90^\circ + \theta) = \cos \theta$
- $\cos (90^\circ + \theta) = -\sin \theta$
- $\tan (90^\circ + \theta) = -\frac{1}{\tan \theta}$
こちらも単位円で $90^\circ$ 回転させた点を考えると、「$90^\circ$ 系なので種類がチェンジ」「第2象限（鈍角）に行くので $\cos$ と $\tan$ にマイナスがつく」という仕組みで一発理解できます。
4. 【実践例題】公式を使って式を簡単にする
【例題1】鈍角の三角比を鋭角に直す
次の三角比の値を鋭角（$0^\circ \sim 45^\circ$）の三角比で表せ。
(1) $\sin 160^\circ$
(2) $\cos 130^\circ$
解答・解説
- (1) $\sin 160^\circ$$160^\circ = 180^\circ – 20^\circ$ なので、$180^\circ – \theta$ の公式を使います。$$\sin 160^\circ = \sin (180^\circ – 20^\circ) = \mathbf{\sin 20^\circ}$$
- (2) $\cos 130^\circ$まず $180^\circ – 50^\circ$ で考えると：$$\cos 130^\circ = \cos (180^\circ – 50^\circ) = -\cos 50^\circ$$さらに $50^\circ$ を $45^\circ$ 以下の角にするため、$90^\circ – 40^\circ$ で変換します：$$-\cos 50^\circ = -\cos (90^\circ – 40^\circ) = \mathbf{-\sin 40^\circ}$$
【例題2】複雑な三角比の式の値を求める
次の式の値を求めよ。
$$\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ$$
解答・解説
- 角度が $40^\circ$ と $50^\circ$ で揃っていないので、$90^\circ – \theta$ の公式を使って片方に揃えます。
- $50^\circ = 90^\circ – 40^\circ$ なので：$$\sin 50^\circ = \sin (90^\circ – 40^\circ) = \cos 40^\circ$$
- これを元の式に代入します：$$\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ$$
- 前回の「三角比の相互関係（$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$）」より、値は $1$ になります。
【答え】 $1$
💡 ポイント
角度がバラバラな式が出てきたら、「和が $90^\circ$ や $180^\circ$ になるペアを見つけて角度を揃える」 のが解法の鉄則です！
5. まとめ
公式を丸暗記するのではなく、次のルールをイメージして乗り切りましょう！
- $180^\circ – \theta$ （補角）
- 種類はそのまま（$\sin \to \sin, \cos \to \cos$）
- $\sin$ だけプラス、他はマイナス！
- $90^\circ – \theta$ （余角）
- 種類がチェンジ（$\sin \leftrightarrow \cos$、$\tan$ は逆数）
- 符号はすべてプラス！
次回は、いよいよ三角形の辺や角の大きさを計算する超重要定理「第23回：正弦定理（せいげんていり）の公式と使い方」に入ります！
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