【数Ⅰ：第6回】図解で一発理解！「ド・モルガンの法則」と要素の個数計算

こんにちは！高校数学の学習ブログへようこそ！

前回は「集合の基本記号（$\in, \subset, \cap, \cup$）」と「ベン図」の使い方を学習しましたね。キャップ（$\cap$）とカップ（$\cup$）のイメージ、バッチリ掴めましたでしょうか？

第2章「論理と集合」の2回目となる今回のテーマは、テストや模試で必ずと言っていいほど狙われる超重要トピック「ド・モルガンの法則」と「要素の個数計算 $n(A)$」です！

「屋根（バー）が繋がったり切れたりして、記号の向きもひっくり返るから混乱する…」

「『〜でないものの個数』と言われると、どう引き算すればいいか分からない…」

と苦手意識を持ちやすいポイントですが、実は「図（ベン図）を描いて視覚的に確かめる」ことと「基本の公式パターン」さえ知っていれば、誰でも確実に満点が狙えるサービス問題に変わります！

今回もステップ順に分かりやすく解説していきますので、リフレッシュして挑戦してみましょう！

1. 変身の魔法！？「ド・モルガンの法則」とは

まず登場するのが、集合の単元で最も有名な定理「ド・モルガンの法則」です。

一言でいうと、「集合の上についている長いバー（否定の屋根）を切り離したり、合体させたりするときに使うルール」です！

ド・モルガンの法則（2つの公式）

$$\begin{aligned} ① \quad \overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B} \\ ② \quad \overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B} \end{aligned}$$

変身のルールはたったの2ステップです！

★ ド・モルガンの変身ルール

上のバー（屋根）を 「切る」（または繋げる）

真ん中の記号（$\cap$ と $\cup$）の 「向きをひっくり返す」！

$\cup$（または）の上に長いバー $\to$ バーを切ると、真ん中が $\cap$（かつ） に変わる！
$\cap$（かつ）の上に長いバー $\to$ バーを切ると、真ん中が $\cup$（または） に変わる！

2. なぜ成り立つ？ベン図でスッキリ確かめよう！

公式① $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ をベン図で確かめてみましょう。

左辺：$\overline{A \cup B}$「$A$ または $B$」の外側。つまり、円の外部全体（$A$ の円も $B$ の円も両方避けた外側のエリア）です。
右辺：$\overline{A} \cap \overline{B}$「$A$ の外側」かつ「$B$ の外側」。両方の外側が重なっている場所を探すと……まったく同じ円の外部全体になります！

言葉で覚えるとややこしいですが、「バーを切ったら真ん中の向きがクルッと反転する！」と覚えておけばOKです。

3. 要素の個数を表す記号 $n(A)$ と重要公式

ここからは、集合の中に入っている「要素の個数（メンバーの人数など）」を計算するテクニックです。

集合 $A$ の要素の個数を、Numberの頭文字を取って $n(A)$ と書きます。

絶対に覚えるべき2つの個数公式

① 和集合の個数公式（超重要！）

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$$

なぜ引き算するの？$n(A)$ の人数と $n(B)$ の人数をそのまま足すと、真ん中の重なっている部分（$n(A \cap B)$）の人たちを2回ダブってカウントしてしまうからです。そのため、ダブった1回分を最後に引き算します！

② 補集合の個数公式

$$n(\overline{A}) = n(U) – n(A)$$

「$A$ 以外」の人数は、「全体（$n(U)$）」から「$A$ の人数」を取り除くことで計算できます。

4. 実戦！テストに出る文章問題を攻略

それでは、実際のテストでよく出る文章問題を解いてみましょう！

【例題】要素の個数を求めよう

問題：

1から100までの整数100個の集合を全体集合 $U$ とします。

そのうち、

3の倍数の集合を $A$
5の倍数の集合を $B$

とするとき、次の個数を求めなさい。

$n(A)$ および $n(B)$
$n(A \cap B)$
$n(A \cup B)$（3の倍数または5の倍数の個数）
$n(\overline{A} \cap \overline{B})$（3の倍数でも5の倍数でもない個数）

解答のステップ

まずは、各グループの人数を準備しましょう！

1. $n(A)$ と $n(B)$ を求める

割り算の商（あまりは切り捨て）で個数が分かります。

$A$（3の倍数）：$100 \div 3 = 33$ あまり 1 $\to$ $n(A) = 33$
$B$（5の倍数）：$100 \div 5 = 20$ $\to$ $n(B) = 20$

2. $n(A \cap B)$ を求める

「3の倍数かつ5の倍数」とは、最小公倍数である 「15の倍数」 のことです！

$100 \div 15 = 6$ あまり 10 $\to$ $n(A \cap B) = 6$

3. $n(A \cup B)$ を求める

和集合の公式を使います！

$$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) – n(A \cap B) \\ &= 33 + 20 – 6 \\ &= \mathbf{47} \end{aligned}$$

正解： $47$ 個

4. $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求める

出ました！「〜でも〜でもない」という複雑な形です。

ここでド・モルガンの法則を逆向きに使います！

$$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$$

つまり、「3の倍数でも5の倍数でもない」個数は、「$A \cup B$（3の倍数または5の倍数）以外の個数」と同じです！

補集合の公式を使って、全体の100個から引き算します。

$$\begin{aligned} n(\overline{A} \cap \overline{B}) &= n(\overline{A \cup B}) \\ &= n(U) – n(A \cup B) \\ &= 100 – 47 \\ &= \mathbf{53} \end{aligned}$$

正解： $53$ 個

ド・モルガンの法則を使ったことで、面倒な条件が一瞬で「全体引き算」に早変わりしましたね！

5. 練習問題にチャレンジ！

理解できたか、実際に手を動かしてチェックしてみましょう！

【問1】

1から50までの整数のうち、次のような数は何個あるか求めなさい。

2の倍数または3の倍数
2の倍数でも3の倍数でもない数

【解答・解説】

全体集合 $n(U) = 50$ です。

2の倍数の集合を $A$、3の倍数の集合を $B$ とします。

$n(A) = 50 \div 2 = 25$
$n(B) = 50 \div 3 = 16$ あまり 2 $\to 16$
$n(A \cap B)$（6の倍数）$= 50 \div 6 = 8$ あまり 2 $\to 8$

【1の答え】

和集合の公式に代入します。

$$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) – n(A \cap B) \\ &= 25 + 16 – 8 \\ &= \mathbf{33} \end{aligned}$$

正解： $33$ 個

【2の答え】

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ です。

$$\begin{aligned} n(\overline{A \cup B}) &= n(U) – n(A \cup B) \\ &= 50 – 33 \\ &= \mathbf{17} \end{aligned}$$

正解： $17$ 個

まとめ

今日のポイントをおさらいしましょう！

ド・モルガンの法則＝屋根（バー）を切ると、真ん中の記号が反転する！
- $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
- $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
個数の計算はダブり引き算！ $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$
「〜でも〜でもない」と言われたら、ド・モルガンで「全体からの引き算」に変換する！

難しそうに見える「否定の入った個数問題」も、ド・モルガンの法則を使えば「全体引き算」に書き直せるのが最大のメリットです。

次回は、いよいよ高校数学の「論理」の核心である「命題と条件・必要条件と十分条件」を分かりやすく解説します。テストで差がつく大人気テーマですので、お楽しみに！

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