こんにちは！高校数学の学習ブログへようこそ！
前回は「複雑な式の因数分解」を攻略しましたね。降べきの順に整理して解き明かしていく感覚、掴んでいただけたでしょうか？
第4回となる今回のテーマは、数Ⅰの計算分野の総まとめでもある「実数と絶対値（ぜったいち）の計算ルール」です！
「絶対値って、マイナスを取ればいいだけでしょ？」
「$\vert{}x – 3\vert{}$ みたいに文字が入ってくると急に分からなくなる…」
中学校で習ったイメージのまま止まっていると、高校数学の「文字が入った絶対値」で思わぬ落とし穴にはまってしまいます。
でも大丈夫！絶対値の「本当の意味」と「外しかたの2ステップ」さえ押さえれば、どんな問題でも迷わず解けるようになりますよ！
1. そもそも「実数」と「絶対値」ってなに？
まずは用語のイメージをサクッと整理しておきましょう！
実数（じっすう）とは？
高校数学で扱う数の基本グループです。
有理数（分数や整数、小数）と無理数（$\sqrt{2}$ や $\pi$ など）をすべて合わせた、「数直線上に表せる数」のことをまとめて実数と呼びます。
絶対値の「本当の意味」
中学校では「マイナスを取った数」と覚えたかもしれませんが、数学的な本当の意味は「数直線上における、原点（0）からの距離」です！
「距離」なので、絶対値がマイナス（負の数）になることは絶対にありません。必ず $0$ 以上（プラスか $0$）になります。
- $\vert{}3\vert{} = 3$ （$0$ から $3$ までの距離は $3$）
- $\vert{}-3\vert{} = 3$ （$0$ から $-3$ までの距離も $3$）
ここまでは簡単ですね！問題は「絶対値の中に文字が入ってきたとき」です。
2. 絶対値の記号を外す「鉄則ルール」
絶対値記号 $\vert{} \quad \vert{}$ を外すときのルールは、たったのこれだけです！
★ 絶対値を外す鉄則
- 中身が プラス（または $0$） なら $\to$ そのまま外す
- 中身が マイナス（負） なら $\to$ マイナスをかけて（符号を逆にして）外す
文字で書くと難しく見えますが、数式で表すと次のようになります。
$$\vert{}A\vert{} = \begin{cases} A & (A \geqq 0 \text{ のとき}) \\ -A & (A < 0 \text{ のとき}) \end{cases}$$
「えっ、負のときのに $-A$ になるなら、マイナスになっちゃわない？」と勘違いしやすいポイントですが、$A$ 自体がマイナス（例：$A = -3$）なので、そこにマイナスを掛け算することで $-(-3) = +3$ とプラスに変身させているのです！
3. 実戦！文字が入った絶対値の外し方
実際に例題を見ながら、記号の外し方をマスターしましょう！
【例題1】具体的に数値が与えられている場合
問題： $x = -2$ のとき、$\vert{}x – 3\vert{}$ の値を求めなさい。
解答のステップ
- $x = -2$ をそのまま代入してみる中身は $(-2) – 3 = \mathbf{-5}$ になります。
- 中身の「符号（プラスかマイナスか）」をチェックする中身（$-5$）はマイナス（負の数）です！
- マイナスをかけて記号を外すマイナスなので、全体に「$-$」をかけて外します。
$$\vert{}x – 3\vert{} = -(x – 3)$$
ここに $x = -2$ を代入すると、
$$-(-2 – 3) = -(-5) = \mathbf{5}$$
正解： $\mathbf{5}$
【例題2】根号（$\sqrt{\quad}$）が含まれる場合
定期テストで非常によく出る差がつく問題です！
問題： $\vert{}\sqrt{3} – 2\vert{}$ の絶対値記号を外しなさい。
解答のステップ
- 大小関係を比べて、中身がプラスかマイナスかを判断する$\sqrt{3}$ はおよそ $1.732$ です。つまり、$\sqrt{3}$ と $2$（$\sqrt{4}$）を比べると、$2$ の方が大きいですね！小さい数から大きい数を引いているので、中身 $(\sqrt{3} – 2)$ は マイナス（負） になります。
- マイナスをかけて外す中身がマイナスだと分かったので、全体にマイナスをかけます。
$$\vert{}\sqrt{3} – 2\vert{} = -(\sqrt{3} – 2) = \mathbf{-\sqrt{3} + 2 \quad (\text{または } 2 – \sqrt{3})}$$
正解： $\mathbf{2 – \sqrt{3}}$
4. 練習問題にチャレンジ！
理解できたか、実際に手を動かしてチェックしてみましょう！
【問1】
$x = 1$ のとき、$\vert{}2x – 5\vert{}$ の値を求めなさい。
【問2】
$\vert{}\pi – 3\vert{}$ の絶対値記号を外しなさい。（ただし $\pi$ は円周率とする）
【解答・解説】
【問1の答え】
$x = 1$ を代入すると、中身は $2 \times 1 – 5 = -3$（マイナス）になります。
中身がマイナスなので、マイナスをかけて外します。
$$- (2x – 5) = -2x + 5$$
$x = 1$ を代入して、
$$-2(1) + 5 = \mathbf{3}$$
正解： $\mathbf{3}$
【問2の答え】
円周率 $\pi$ はおよそ $3.14$ です。
$3.14 – 3 > 0$ なので、中身 $(\pi – 3)$ は プラス（正） になります。
中身がプラスのときは、そのまま外すだけでOKです！
正解： $\mathbf{\pi – 3}$
まとめ
今日のポイントをおさらいしましょう！
- 絶対値は「原点からの距離」のこと！（結果は必ず 0 以上）
- 中身がプラス（$\geqq 0$）なら $\to$ そのまま外す！
- 中身がマイナス（$< 0$）なら $\to$ マイナスをつけて符号をひっくり返す！
「中身のプラス・マイナスを確かめてから外す」という2ステップの習慣さえつければ、これから先の複雑な関数や方程式で絶対値が出てきても絶対に怖くありません
参考PR
- 安さ＆予備校級の講義動画なら 👉 [スタディサプリ高校講座]
- 定期テスト＆推薦入試対策なら 👉 [進研ゼミ高校講座]
- 難関大突破＆記述・添削なら 👉 [Ｚ会の通信教育]
コメント