「2つの円の位置関係って、条件の式が多くて覚えきれない……」
「共通接線の長さを求める問題、どこに直角三角形を作ればいいか分からない！」
高校数学A「図形の性質（平面図形）」の第11回は、2つの円が重ね合わさる様子と、そこに引かれる共通の接線に関する「2つの円の位置関係と共通接線」を解説します！
位置関係の5つのパターンは丸暗記するのではなく「2つの円を引き離していくイメージ」で整理すれば一発で理解できます。また、共通接線の長さを求める計算テクニックも併せてマスターしましょう！
1. 2つの円の位置関係（5つのパターン）
半径 $R, r$（ただし $R > r$）の2つの円の中心間の距離を $d$ とすると、円の位置関係は以下の 5 つに分類されます。共通接線の本数と一緒に押さえるのがコツです。
| 位置関係 | 中心間距離 $d$ と半径の関係 | 共通接線の本数 |
|---|---|---|
| ① 互いに外部にある | $\mathbf{d > R + r}$ | 4 本（共通外接線2本＋共通内接線2本） |
| ② 外接する（外側で接する） | $\mathbf{d = R + r}$ | 3 本 |
| ③ 2 点で交わる | $\mathbf{R – r < d < R + r}$ | 2 本 |
| ④ 内接する（内側で接する） | $\mathbf{d = R – r}$ | 1 本 |
| ⑤ 一方が他方を含む | $\mathbf{d < R – r}$ | 0 本 |
覚え方のコツ：
境界線となるのは「外接（$d = R + r$）」と「内接（$d = R – r$）」の2つです！
この2つの状態を基準にして、$d$ がそれより大きいか・間にあるか・小さいかで整理しましょう。
2. 共通接線の長さを求める解法のカギ
2つの円に同時に接する直線（共通接線）の接点間の長さを求めるときは、「中心を結ぶ線分（斜辺 $d$）を斜辺とする直角三角形を作る」のが鉄則です。
💡 【共通接線の長さの求め方】
1. 2つの円の中心 $O_1, O_2$ と接点をつなぎ、接線との垂直関係（$90^\circ$）を作る。
2. 小さい方の円の中心から、大きい方の円の半径に向けて平行線を引く。
3. 三平方の定理を適用する：
- 共通外接線の長さ $L$： 半径の「差」を利用 $\Rightarrow L = \sqrt{d^2 – (R – r)^2}$
- 共通内接線の長さ $l$： 半径の「和」を利用 $\Rightarrow l = \sqrt{d^2 – (R + r)^2}$
3. 【実践例題】位置関係と共通接線の問題
【例題1】2つの円の位置関係の判定（基本）
半径 $7$ の円 $O$ と、半径 $3$ の円 $O’$ がある。中心間の距離 $d$ が以下の場合のとき、2つの円の位置関係を答えよ。
(1) $d = 11$ (2) $d = 10$ (3) $d = 5$ 解答・解説を表示する
1. 半径の和と差をあらかじめ計算する
$R = 7, r = 3$ より：
半径の和：$R + r = 7 + 3 = 10$
半径の差：$R – r = 7 – 3 = 4$
2. 与えられた $d$ の値と比較する
(1) $d = 11 > 10$ ($d > R + r$) より、【互いに外部にある】
(2) $d = 10$ ($d = R + r$) より、【外接する】
(3) $4 < d = 5 < 10$ ($R – r < d < R + r$) より、【2点で交わる】
【例題2】共通外接線の長さ（応用）
半径がそれぞれ $5$ と $2$ である 2 つの円 $O, O’$ があり、中心間の距離 $OO’ = 10$ である。この 2 つの円の共通外接線と 2 つの円との接点をそれぞれ $A, B$ とするとき、線分 $AB$ の長さを求めよ。 解答・解説を表示する
1. 補助線を引いて直角三角形を作る
点 $O’$ から半径 $OA$ に下ろした垂線の足を $H$ とします。
四角形 $ABO’H$ は長方形となるため、$AH = O’B = 2$、および $OH = OA – AH = 5 – 2 = 3$ となります。
また、$AB = O’H$ です。
2. 直角三角形 $\triangle OHO’$ に三平方の定理を適用する
$\angle OHO’ = 90^\circ$ の直角三角形において、斜辺 $OO’ = 10$, $OH = 3$ なので：
$$O’H^2 + OH^2 = OO’^2$$
$$O’H^2 + 3^2 = 10^2$$
$$O’H^2 + 9 = 100$$
$$O’H^2 = 91$$
$O’H > 0$（長さ）より：
$$O’H = \sqrt{91}$$
$AB = O’H$ なので、$AB = \sqrt{91}$ となります。
【答え】 $\mathbf{AB = \sqrt{91}}$
4. まとめ
- 位置関係の基準： 外接（$d = R + r$）と内接（$d = R – r$）の2つをまず書き出す！
- 接線の長さ： 小さい円の中心から平行線を引いて直角三角形を作る。
- 外接線と内接線： 外接線は半径の「差（$R – r$）」、内接線は半径の「和（$R + r$）」を使って三平方の定理！
次回は、平面図形分野の締めくくりとなる「【数A：第12回】作図可能性と基本作図｜垂直二等分線・角の二等分線・平方根の作図」を解説します！
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