「『A または B が起こる確率』を求めるとき、単に足し算していい場合とダメな場合の違いは？」
「『排反（はいはん）』ってどういう状態？ 和集合の計算と何が違うの？」
高校数学A「場合の数と確率」の第29回（第12回）は、複数の事象がからむ「和事象の確率」と「確率の加法定理」を解説します！
集合のベン図をイメージしながら、足し算で解決できる「排反事象」と、重複（重なり）を引き算する必要がある一般的な和事象の解法を完全マスターしましょう！
1. 事象の「和」と「積」・「排反」とは？
まずは事象と集合の関係を整理します。
| 概念・用語 | 記号・意味 | 具体例（サイコロを1回振る） |
|---|---|---|
| 和事象（わじしょう） | $A \cup B$ （$A$ または $B$ が起こる事象） | 「偶数の目」または「5以上の目」が出る |
| 積事象（せきじしょう） | $A \cap B$ （$A$ かつ $B$ が同時に起こる事象） | 「偶数の目」かつ「5以上の目」が出る（＝6の目） |
| 排反事象（はいはんじしょう） | $A \cap B = \varnothing$ （$A$ と $B$ が絶対に同時には起こらない関係） | 「1の目が出る」と「偶数の目が出る」は同時に起こり得ない（排反！） |
2. 確率の加法定理（公式）
事象 $A$ または $B$ の少なくとも一方が起こる確率 $P(A \cup B)$ は、2 つの事象が「排反」かどうかで計算式が変わります。
💡 【確率の加法定理】
① 2つの事象 $A, B$ が互いに「排反（重なりなし）」のとき：
$$\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B)}$$
② 一般の事象 $A, B$（重なりがあるかもしれないとき）：
$$\mathbf{P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)}$$
ベン図で考える理由：
集合の要素の個数 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)$ と全く同じです。
$P(A)$ と $P(B)$ を単純に足すと、中央の重なり部分 $P(A \cap B)$ を 2 回重複してカウントしてしまうため、最後に 1 回分差し引く必要があります。
排反（$A \cap B = \varnothing$）の場合は重なりが $0$ なので、そのまま足すだけで OK です！
3. 【実践例題】和事象と加法定理の演習
【例題1】排反事象の確率（基本）
1 から 100 までの番号が書かれた 100 枚のカードから 1 枚を引き出すとき、その番号が「7 の倍数」または「11 の倍数」である確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. それぞれの事象の要素の個数を調べる
全事象 $n(U) = 100$ です。
- 7 の倍数が出る事象を $A$ とする： $100 \div 7 = 14$ 余り 2 $\rightarrow n(A) = 14$
- 11 の倍数が出る事象を $B$ とする： $100 \div 11 = 9$ 余り 1 $\rightarrow n(B) = 9$
- 7 かつ 11 の倍数（77の倍数）が出る事象 $A \cap B$： 77 の 1 個のみ $\rightarrow n(A \cap B) = 1$
2. 公式を適用して計算する
重なり（77）が存在するため、加法定理 ② を用立ちます。
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{14}{100} + \frac{9}{100} – \frac{1}{100} = \frac{22}{100} = \frac{11}{50}$$
【答え】 $\mathbf{\frac{11}{50}}$
【例題2】玉を取り出す問題での排反利用（応用）
赤玉 5 個、白玉 4 個、青玉 3 個が入っている袋から同時に 3 個の玉を取り出すとき、3 個の玉が「すべて同じ色」になる確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 全事象 $n(U)$ を求める
合計 $5 + 4 + 3 = 12$ 個の玉から 3 個を選ぶ組み合わせは：
$$n(U) = {}_{12}\text{C}_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \text{ 通り}$$
2. 「すべて同じ色」を各色の事象に分解する
- 事象 $R$（3個とも赤玉）： ${}_5\text{C}_3 = {}_5\text{C}_2 = 10$ 通り $\rightarrow P(R) = \frac{10}{220}$
- 事象 $W$（3個とも白玉）： ${}_4\text{C}_3 = {}_4\text{C}_1 = 4$ 通り $\rightarrow P(W) = \frac{4}{220}$
- 事象 $B$（3個とも青玉）： ${}_3\text{C}_3 = 1$ 通り $\rightarrow P(B) = \frac{1}{220}$
3. 排反であることを確認して足し合わせる
「3個とも赤」「3個とも白」「3個とも青」が同時に起こることはあり得ない（互いに排反）です。
したがって、それぞれの確率をそのまま足し算します（加法定理 ①）。
$$P = P(R) + P(W) + P(B) = \frac{10}{220} + \frac{4}{220} + \frac{1}{220} = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$$
【答え】 $\mathbf{\frac{3}{44}}$
4. まとめ
- 排反事象： 同時に起こることがない関係（$A \cap B = \varnothing$）。
- 加法定理（排反のとき）： $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ （そのまま足すだけ！）
- 加法定理（重なりがあるとき）： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$ （重なりを引く！）
和事象の確率と排反の考え方がすっきり整理できました！
次回は「【数A：第30回】余事象の確率｜『少なくとも1つ』を見たら絶対使う最強の計算テクニック」を解説します！
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