「$_n\text{P}_r$ と $_n\text{C}_r$ の使い分けが分からなくなる……」
「$_n\text{C}_r = {_n\text{C}_{n-r}}$ という公式は、なぜ成り立つのか知りたい！」
高校数学A「場合の数と確率」の第25回（第8回）は、場合の数における超重要概念「組合せ（Combination）」と記号 $_n\text{C}_r$ を解説します！
順列 P（並べる）と組合せ C（選ぶだけ）の違いを明確にし、計算を爆速にする性質までしっかり身につけましょう！
1. 組合せ（Combination）とは？（P と C の違い）
異なる $n$ 個のものから、順番を気にせず 単に $r$ 個を「選ぶ（取り出す）」だけの選び方を組合せと呼び、記号 $_n\text{C}_r$ で表します。
| 概念 | 記号 | 順番の考慮 | 具体例（A, B, C から 2 個） |
|---|---|---|---|
| 順列（Permutation） | $_n\text{P}_r$ | あり（並べる） | (A,B), (B,A), (A,C), (C,A), (B,C), (C,B) $\rightarrow$ 6通り |
| 組合せ（Combination） | $_n\text{C}_r$ | なし（選ぶだけ） | {A,B}, {A,C}, {B,C} $\rightarrow$ 3通り |
💡 【組合せ $_n\text{C}_r$ の公式】
異なる $n$ 個から $r$ 個を選ぶ組合せの総数は：
$$\mathbf{_n\text{C}_r = \frac{_n\text{P}_r}{r!} = \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r(r-1)\dots 1} = \frac{n!}{r!(n-r)!}}$$
※ ただし $0 \le r \le n$、$_n\text{C}_0 = 1$
公式の仕組み（なぜ $r!$ で割るのか）：
選んだ $r$ 個のものを並べる並び替えは $r!$ 通りあります。「選んで並べる（$_n\text{P}_r$）」の中から「並び替え（$r!$）」の重複を取り除くため、$r!$ で割ります。
2. 計算を劇的に楽にする重要性質
組合せの計算では、次の性質を使うと計算量を大幅に減らすことができます。
💡 【$_n\text{C}_r$ の重要性質】
$$\mathbf{_n\text{C}_r = {_n\text{C}_{n-r}}}$$
直感的な理由：
「10 人の中から選抜メンバー 8 人を選ぶ（$_{10}\text{C}_8$）」ことは、「落選する 2 人を選ぶ（$_{10}\text{C}_2$）」ことと全く同じ作業だからです！
計算の比較：
* $_{10}\text{C}_8 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \rightarrow$ 大変！
* $_{10}\text{C}_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \rightarrow$ 一瞬！
3. 【実践例題】組合せの基本計算と応用
【例題1】基本計算と図形問題（基本）
(1) $_8\text{C}_3$ および $_{10}\text{C}_7$ を計算せよ。
(2) 円周上に異なる 6 個の点がある。これらのうち 3 点を頂点とする三角形は全部で何個できるか。 解答・解説を表示する
(1) の解答・解説
* $_8\text{C}_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
* $_{10}\text{C}_7 = {_{10}\text{C}_3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$
(2) の解答・解説
三角形を決めるには、6 個の点から順序に関係なく 3 個の点を選べばよいので、組合せ $_6\text{C}_3$ となります。
$$_6\text{C}_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \text{ 個}$$
【答え】 (1) $_8\text{C}_3 = \mathbf{56}$, $_{10}\text{C}_7 = \mathbf{120}$ / (2) $\mathbf{20}$ 個
【例題2】男子・女子の選出（応用）
男子 5 人、女子 4 人のグループから委員を 4 人選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。
(1) 男子 2 人、女子 2 人を選ぶ選び方
(2) 少なくとも 1 人は女子が含まれる選び方 解答・解説を表示する
(1) 男子 2 人、女子 2 人の選び方
男子 5 人から 2 人を選ぶ通り数は $_5\text{C}_2$ 通り。
女子 4 人から 2 人を選ぶ通り数は $_4\text{C}_2$ 通り。
これらを連続してセットで選ぶため、積の法則を用立ちます。
$$_5\text{C}_2 \times _4\text{C}_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 10 \times 6 = 60 \text{ 通り}$$
(2) 少なくとも 1 人は女子が含まれる選び方
「少なくとも〜」は余事象（全体 $-$ 逆のパターン）で考えるのが鉄則です！
逆のパターンは「4 人全員が男子」です。
- 全員（9 人）から 4 人を選ぶ総数： $_9\text{C}_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り
- 男子 5 人のみから 4 人を選ぶ（全員男子）： $_5\text{C}_4 = {_5\text{C}_1} = 5$ 通り
全体から引き算します：
$$126 – 5 = 121 \text{ 通り}$$
【答え】 (1) $\mathbf{60}$ 通り / (2) $\mathbf{121}$ 通り
4. まとめ
- 順列 P と組合せ C： 「順番を並べる」なら P、「選ぶだけ」なら C！
- 計算テクニック： $_n\text{C}_r = {_n\text{C}_{n-r}}$ を使って、下標 $r$ を小さい数に変換して計算！
- 「少なくとも〜」： 全体の通り数から「まったく〜ない（逆）」を引く余事象アプローチ！
組合せの基本と計算ルールがしっかり定着しました！
次回は「【数A：第26回】組分け（分け方）の問題｜区別の有無による割る・割らないの決定的な違い」を解説します！
コメント