【数学Ⅱ】3-3 円の方程式（基本形・一般形）と直線との位置関係・接線の公式

「円」を方程式で表し、直線との位置関係（交点や接線）を調べる方法を解説します。

1. 円の方程式（基本形と一般形）

① 基本形（中心と半径が直接わかる形）

中心が $(a, b)$、半径が $r$ の円の方程式：

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$

※ 中心が原点 $(0, 0)$ の場合は $x^2 + y^2 = r^2$。

② 一般形

$$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$$

一般形から中心と半径を求めるには、$x$ と $y$ それぞれについて平方完成を行います。

2. 円と直線の位置関係の判定

円 $x^2 + y^2 = r^2$ と直線 $y = mx + k$ の共有点の個数は、次の2通りの方法で判定できます。

方法A：判別式 $D$ を利用する（代数的手法）

直線の式を円の式に代入して $x$ の2次方程式を作り、判別式 $D$ の符号を調べます。

• $D > 0 \iff$ 異なる2点で交わる（共有点2個）
• $D = 0 \iff$ 1点で接する（共有点1個）
• $D < 0 \iff$ 共有点を持たない（共有点0個）

方法B：中心からの距離 $d$ を利用する（図形的手法・おすすめ）

円の中心と直線の距離 $d$（点と直線の距離公式）と、円の半径 $r$ を比較します。

• $d < r \iff$ 異なる2点で交わる
• $d = r \iff$ 1点で接する
• $d > r \iff$ 共有点を持たない

計算テクニック：方法B（距離 $d$ と半径 $r$ の比較）の方が、判別式 $D$ よりも計算が圧倒的に楽になり、ミスも防げます。

3. 円の接線の方程式

円上の点における接線

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $\text{P}(x_1, y_1)$ における接線の方程式：

$$x_1 x + y_1 y = r^2$$

中心が $(a, b)$ の場合

円 $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ 上の点 $\text{P}(x_1, y_1)$ における接線の方程式：

$$(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2$$

4. まとめ

1. 一般形を見たら平方完成して中心と半径を求める。
2. 円と直線の位置関係は「中心と直線の距離 $d$ と半径 $r$ の比較」が最速。
3. 接線の公式は $x^2 \to x_1 x, \; y^2 \to y_1 y$ と置換するイメージ。

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