【数学Ⅱ】6-3: 増減表を書けばグラフが見える！3次関数の極大値・極小値の求め方

導関数 $f'(x)$ の「符号」を調べることで、元の関数 $f(x)$ のグラフが「上がっているか（増加）」「下がっているか（減少）」が分かります。増減表の書き方を完璧にマスターしましょう。

1. 導関数の符号と関数の増減

• $f'(x) > 0$ の区間 $\implies f(x)$ は 単調に増加 する（右上がり）
• $f'(x) < 0$ の区間 $\implies f(x)$ は 単調に減少 する（右下がり）
• $f'(x) = 0$ となる点 $\implies$ 増加と減少が入れ替わる山の頂点・谷の底（極値）の候補

2. 極大値と極小値

• 極大値：グラフが増加から減少に転じる点（山の頂点）
• 極小値：グラフが減少から増加に転じる点（谷の底）

※「極値」は局所的な山・谷であり、必ずしも全体の最大値・最小値とは限らない点に注意してください。

3. 増減表の書き方とグラフ描画（実践例題）

例題

関数 $f(x) = x^3 – 3x$ の増減を調べ、極値を求めよ。またグラフを描け。

【解答】

① 微分する：

$f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) = 3(x + 1)(x – 1)$

② $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める：

$x = -1, 1$

③ 増減表を作成する：

x	…	−1	…	1	…
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	2	$\searrow$	-2	$\nearrow$

④ 結論を記述する：

$x = -1$ で 極大値 $2$

$x = 1$ で 極小値 $-2$

4. まとめ

1. 微分して $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。
2. 符号の変化を調べる増減表（$x, f'(x), f(x)$ の3段表）を正しく書く。
3. 極値（山の頂点・谷の底）の座標を取って滑らかな曲線で結ぶ。

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