【数学Ⅱ】3-1: 2点間の距離・分点・重心の公式と座標平面の解き方

数学Ⅱ

2026.10.02

「図形と方程式」の第1回は、座標平面上で図形を扱うための基礎となる「2点間の距離」「内分点・外分点」「三角形の重心」です。公式を図形的意味とセットで理解し、スムーズに計算できるようにしましょう。

座標平面上の2点 $\text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2)$ 間の距離 $\text{AB}$ は、三平方の定理から導かれます。

$$\text{AB} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

$x$ 座標の差 $(x_2 – x_1)$ を底辺、$y$ 座標の差 $(y_2 – y_1)$ を高さとする直角三角形をイメージすると、斜辺の長さが2点間の距離になります。

例題

2点 $\text{A}(1, 2), \text{B}(4, 6)$ 間の距離を求めよ。

【解答】

$\text{AB} = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

2点 $\text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2)$ を結ぶ線分 $\text{AB}$ を $m:n$ に分ける点の座標公式です。

$$\text{P}\left( \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \; \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \right)$$

外分は「一方にマイナスをつける」と覚えると簡単です。

$$\text{Q}\left( \frac{-nx_1 + mx_2}{m – n}, \; \frac{-ny_1 + my_2}{m – n} \right)$$

$$\text{M}\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

分子の計算では、$x_1$ に $n$ を、$x_2$ に $m$ をクロスして（たすき掛けに）掛け合わせます。

頂点 $\text{A}(x_1, y_1), \text{B}(x_2, y_2), \text{C}(x_3, y_3)$ をもつ $\triangle \text{ABC}$ の重心 $\text{G}$ の座標は、3頂点の算術平均になります。

$$\text{G}\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$$

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