数学Ⅱの「微分法」に続いて登場するのが「積分法（せきぶんほう）」です。難しそうな記号（$\int$）が出てきますが、基本の考え方は「微分の逆の計算を行うこと」です。
この記事では、不定積分の基本的な概念から計算公式、そしてなぜ「積分定数 $+C$」が必要なのかについて詳しく解説します。
1. 不定積分とは？（微分の逆演算）
ある関数 $F(x)$ を微分した結果が $f(x)$ になるとき（$F'(x) = f(x)$）、$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数と呼びます。この原始関数を求める操作を不定積分（ふていせきぶん）といいます。
記号を使うと、次のように表します。
$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$
- $\int$（インテグラル）：積分することを示す記号
- $dx$：$x$ で積分することを示す記号
- $C$：積分定数（せきぶんていすう）
2. なぜ積分定数 $+C$ が必要なのか？
例えば、$x^2$ を微分すると $2x$ になります。
では、$x^2 + 3$ や $x^2 – 100$ を微分するとどうでしょうか？
- $(x^2)’ = 2x$
- $(x^2 + 3)’ = 2x$
- $(x^2 – 100)’ = 2x$
定数は微分するとすべて $0$ になるため、$2x$ を元に戻す（積分する）とき、元の定数が何であったかは特定できません。そのため、任意の定数を表す $+ C$ を後ろにつけておく必要があるのです。
3. 多項式関数の不定積分の公式
微分の公式 $(x^n)’ = n x^{n-1}$ の逆を考えることで、以下の積分の基本公式が導かれます。
$$\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad (C \text{ は積分定数})$$
公式のポイント
- 肩の数字（$n$）に $1$ を足して、その数で割る（逆数をかける）
- 定数 $k$ の積分：$\int k \, dx = kx + C$
- 和・差・実数倍：$\int \{k f(x) + g(x)\} \, dx = k \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
例題
次の不定積分を求めよ。
(1) $\int (3x^2 – 4x + 5) \, dx$
(2) $\int (x+2)(x-3) \, dx$
【解答例】
(1) 公式にあてはめて計算します。
$$\begin{aligned} \int (3x^2 – 4x + 5) \, dx &= 3 \cdot \frac{x^3}{3} – 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C \\ &= x^3 – 2x^2 + 5x + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$
(2) カッコの掛け算のままでは積分できないため、先に展開してから積分します。
$$\begin{aligned} \int (x+2)(x-3) \, dx &= \int (x^2 – x – 6) \, dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 – \frac{1}{2} x^2 – 6x + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$
4. まとめ
- 積分は微分の逆の計算。
- 指数を $+1$ して、その新しい指数で割る。
- 不定積分の最後には必ず $+C$（$C$ は積分定数） を忘れない！
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