「円形に並べるとき、なぜ $n$ ではなく $(n-1)!$ になるの？」
「『じゅず順列』で 2 で割る場合と割らない場合の決定的な違いは何？」
高校数学A「場合の数と確率」の第22回（第5回）は、回転や裏返しによる重複を考慮する「円順列（Circular Permutation）」と「じゅず順列（Necklace Permutation）」を解説します！
一見ややこしく思える公式ですが、「1人を固定する」という本質さえ押さえれば、どんな複雑な条件がついた丸テーブル問題でも迷わず解けるようになります！
1. 円順列（Circular Permutation）とは？
異なる $n$ 個のものを円形に並べる並べ方を円順列といいます。
一列に並べる順列との最大の違いは、「回転させて同じ並び順（配置）になるものは、同一の並び方とみなす」という点です。
💡 【円順列の公式】
異なる $n$ 個のものの円順列の総数は：
$$\mathbf{(n – 1)! \quad \text{通り}} \quad \left( = \frac{_n\text{P}_n}{n} \right)$$
なぜ $(n-1)!$ になるのか？（2つの考え方）：
- 重複で割る考え方：
$n$ 人を一列に並べる並べ方は $n!$ 通りあります。しかし、円形に並べた場合、1つずつ席をずらしていくと $n$ 通りずつ全く同じ配置（回転で重なるもの） が現れます。したがって、$n! \div n = (n-1)!$ となります。 - 【★おすすめ】1人を「固定」する考え方：
回転して動いてしまうのが原因なので、特定の1人（例えばA君）の位置を「基準（特等席）」としてガッチリ固定します。A君を固定してしまえば、もはや回転することはできません。あとは残った $(n-1)$ 人の席を一列に並べるだけになるので、$(n-1)!$ 通りとなります！
2. じゅず順列（Necklace Permutation）とは？
異なる $n$ 個の玉に穴を通し、輪にして首飾り（ネックレスやじゅず）を作るような並べ方をじゅず順列といいます。
💡 【じゅず順列の公式】
異なる $n$ 個のもののじゅず順列の総数は：
$$\mathbf{\frac{(n – 1)!}{2} \quad \text{通り}}$$
円順列との違い（裏返せるかどうか）：
円順列（テーブルに着席する場合など）は表と裏をひっくり返すことができません（人間がひっくり返ると天井に立つことになるため）。
しかし、首飾りや数珠（じゅず）は「ひっくり返す（裏返す）」ことができます。
裏返すと「時計回り」と「反時計回り」の配置がぴったり重なるため、円順列の総数をさらに 2 で割る必要があります！
3. 【実践例題】円順列とじゅず順列の演習
【例題1】基本の円順列と固定のテクニック（標準）
大人 2 人、子ども 4 人の合計 6 人が丸いテーブルに着席するとき、次の並べ方は何通りあるか。
(1) 6 人の並び方の総数
(2) 大人 2 人が向かい合う（対向する）並び方 解答・解説を表示する
(1) 6 人の並び方の総数
単純な 6 人の円順列です。
$$(6 – 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ 通り}$$
(2) 大人 2 人（Aさん, Bさん）が向かい合う並び方
円順列の鉄則である「1人を固定する」を使います！
- 大人Aさんを特定の席に固定します（これによって回転が防止されます。固定の仕方は1通り）。
- 「向かい合う」という条件があるため、大人Bさんの席はAさんの真向かい（1箇所）に自動的に決定します。
- あとは、残った 子ども 4 人の席（4箇所）に子どもを並べる だけです。これは通常の順列 $4!$ となります。
$$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ 通り}$$
【答え】 (1) $\mathbf{120}$ 通り / (2) $\mathbf{24}$ 通り
【例題2】じゅず順列の計算（応用）
色が異なる 6 個の玉がある。これらすべてに穴を開けて糸を通し、輪にして首飾りを作るとき、作れる首飾りは全部で何種類あるか。 解答・解説を表示する
1. 首飾りなので「じゅず順列」の公式を適用する
ひっくり返して同じになる（鏡像関係にある）ものを同じとみなすため、円順列の数を 2 で割ります。
$$\frac{(6 – 1)!}{2} = \frac{5!}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ 種類}$$
【答え】 $\mathbf{60}$ 種類
4. まとめ
- 円順列 $(n-1)!$： 「誰か 1 人を固定して回転を止める」と考えれば、残りの直線順列に落とし込める！
- じゅず順列 $\frac{(n-1)!}{2}$： 首飾りや鍵輪のように「ひっくり返せる（裏返せる）」ものは、円順列をさらに 2 で割る！
- 条件付きの円順列： 条件の厳しい人（向かい合う人、隣り合う人など）を真っ先に固定・配置するのが鉄則！
回転と裏返しの概念がクリアになりました！
次回は「【数A：第23回】重複順列｜$n^r$ の考え方と部屋割り・出席確認の計算テクニック」を解説します！
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