「反復試行の確率の公式、文字が多すぎて丸暗記しようとすると混乱する……」
「なんで途中に組合せの $_n\text{C}_r$ が出てくるのか、納得して解きたい！」
高校数学A「場合の数と確率」の第32回（第15回）は、定期テストや共通テストで超高頻出の重要テーマ「反復試行（はんぷくしこう）の確率」を解説します！
「同じ試行を繰り返す」ときの計算の仕組みを理解すれば、公式を丸暗記することなく自然と式を立てられるようになります。本質からしっかり身につけましょう！
1. 反復試行（Repeated Trials）とは？
同じ条件のもとで、独立な試行を何回も繰り返して行うことを反復試行といいます。
例えば、次のようなものが反復試行です。
- 「1 個のサイコロを 5 回続けて投げる」
- 「1 枚のコインを 10 回続けて投げる」
- 「1 回あたりの成功確率が $\frac{1}{3}$ のゲームを 4 回繰り返す」
2. 反復試行の確率の公式とその仕組み
💡 【反復試行の確率の公式】
1 回の試行で事象 $A$ の起こる確率を $p$ とし、$A$ が起こらない確率を $q = 1 – p$ とする。
この試行を $n$ 回繰り返すとき、事象 $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は：
$$\mathbf{P = {}_n\text{C}_r \, p^r \, (1-p)^{n-r}} \qquad (r = 0, 1, 2, \dots, n)$$
なぜこの公式になるのか？（3 つのパーツの役割）
例えば、「1 回の確率が $p$ の試行を $n$ 回行ったとき、事象 $A$ が $r$ 回、起こらない事象 $\bar{A}$ が $(n-r)$ 回出る」という特定の 1 つのパターン（例：最初から $r$ 回連続で $A$ が出て、残りが $\bar{A}$）を考えると、その確率は：
$$\underbrace{p \times p \times \dots \times p}{r\text{ 個}} \times \underbrace{(1-p) \times (1-p) \times \dots \times (1-p)}{(n-r)\text{ 個}} = p^r (1-p)^{n-r}$$
しかし、$A$ が何回目に出るかという出る順番（タイトルの並び順）は全 $n$ 回のうち $r$ 回の場所を選ぶ組み合わせ ${}_n\text{C}_r$ 通り あります。
これら ${}_n\text{C}_r$ 通りのパターンはすべて互いに排反で、それぞれの確率はすべて $p^r(1-p)^{n-r}$ で等しいため、すべてを足し算（＝掛け算）して公式が完成します！
| パーツ | 意味 |
|---|---|
| ${}_n\text{C}_r$ | 全 $n$ 回の試行のうち、事象 $A$ が起こる $r$ 回の「場所（順番）」の選び方 |
| $p^r$ | 事象 $A$（確率 $p$）が $r$ 回起こる確率 |
| $(1-p)^{n-r}$ | 事象 $A$ 以外（確率 $1-p$）が残りの $(n-r)$ 回起こる確率 |
3. 【実践例題】反復試行の確率の演習
【例題1】基本の反復試行
1 個のサイコロを 5 回続けて投げるとき、1 の目が「ちょうど 2 回」出る確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 各要素を整理する
- 全体の試行回数： $n = 5$
- 求める回数： $r = 2$
- 1 回の試行で 1 の目が出る確率： $p = \frac{1}{6}$
- 1 の目が出ない確率： $1 – p = \frac{5}{6}$
2. 公式に当てはめて計算する
$$P = {}_5\text{C}_2 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^{5-2}$$
$$P = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = 10 \times \frac{125}{7776} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$$
【答え】 $\mathbf{\frac{625}{3888}}$
【例題2】点 P の移動（応用）
数直線上に点 P があり、最初は原点 O（座標 0）にある。
1 枚の硬貨を投げ、表が出たら P は右（正の方向）へ 2 進み、裏が出たら左（負の方向）へ 1 進む。
硬貨を 6 回投げたとき、点 P の座標が 3 にある確率を求めよ。 解答・解説を表示する
1. 表が出る回数を $x$ 回とおいて方程式を立てる
6 回中、表が出た回数を $x$ 回（$0 \leqq x \leqq 6$）とすると、裏が出た回数は $(6 – x)$ 回です。
このときの点 P の最終座標は：
$$\text{座標} = (+2) \times x + (-1) \times (6 – x) = 2x – 6 + x = 3x – 6$$
これが 3 になるので：
$$3x – 6 = 3 \implies 3x = 9 \implies x = 3$$
つまり、「硬貨を 6 回投げて、表がちょうど 3 回出る確率」を求めればよいことがわかります！
2. 反復試行の公式で計算する
表が出る確率は $\frac{1}{2}$、裏が出る確率も $\frac{1}{2}$ です。
$$P = {}_6\text{C}_3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6-3} = 20 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{5}{16}$$
【答え】 $\mathbf{\frac{5}{16}}$
4. まとめ
- 反復試行の確率公式：$P = {}_n\text{C}_r \, p^r (1-p)^{n-r}$
- パーツの構造： 「順序の数（${}_n\text{C}_r$）」$\times$「指定事象が起こる確率（$p^r$）」$\times$「指定以外が起こる確率（$(1-p)^{n-r}$）」！
- 座標移動問題： 回数を文字 $x$ とおいて方程式を立て、求める事象の回数を特定するのが定石！
反復試行の仕組みと解法パターンが完璧にマスターできました！
次回は「【数A：第33回】条件付き確率｜ $P_A(B)$ の計算公式と『〜のとき…である確率』の読み解き方」を解説します！
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