高校数学Ⅱの「複素数と方程式」分野で最初に登場するのが、これまでの「実数」の範囲を超えた新しい数、「複素数」です。
「2乗して $-1$ になる数なんて存在するの？」と困惑する方も多いかもしれませんが、仕組みと計算ルールを整理すれば、通常の文字式の計算とほとんど変わりません。
この記事では、虚数単位 $i$ の定義から複素数の四則演算、分母の実数化、そしてよく出題される $i^n$ の周期性までを徹底解説します！
1. 虚数単位 $i$ と複素数の定義
2乗すると $-1$ になる新しい数を虚数単位と呼び、記号 $i$ で表します。
$$i^2 = -1 \quad (\text{すなわち } i = \sqrt{-1})$$
この $i$ を用いて、$a + bi$（$a, b$ は実数）の形で表される数を複素数といいます。
- 実部：$a$ の部分
- 虚部：$b$ の部分（※ $bi$ ではなく $b$ のみを指す点に注意！）
$b = 0$ のときは実数になり、$b \neq 0$ のときは虚数と呼ばれます。特に $a = 0, b \neq 0$ のとき（例: $3i, -2i$ など）を純虚数といいます。
2. 複素数の四則演算
複素数の加減乗除は、基本的には $i$ を普通の文字（$x$ や $a$ など）と同じように扱って整理し、$i^2$ が出てきたら $-1$ に置き換えるだけでOKです。
基本計算ルール
- 加法・減法：$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$ （実部同士、虚部同士をまとめる）
- 乗法：$(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i$ （展開して $i^2 = -1$ を適用）
3. 分母の「実数化」と共役な複素数
分数式の分母に $i$ が含まれている場合、分母から $i$ をなくす「実数化」を行います。
ここで使うのが、符号を入れ替えた共役（きょうやく）な複素数です。
$a + bi$ に対して、$a – bi$ を互いに共役な複素数と呼びます。
共役な複素数同士を掛け合わせると、
$$(a + bi)(a – bi) = a^2 – b^2 i^2 = a^2 + b^2$$
となり、$i$ が消えて必ず実数になります！
4. 実践問題（四則演算と実数化）
問題
次の計算をせよ。
(1) $(3 + 2i)(1 – 4i)$
(2) $\frac{2 + i}{1 – 2i}$
【解答例】
(1) 普通に展開し、$i^2 = -1$ を代入します。
$$\begin{aligned} (3 + 2i)(1 – 4i) &= 3 – 12i + 2i – 8i^2 \\ &= 3 – 10i – 8(-1) \\ &= 3 – 10i + 8 \\ &= 11 – 10i \end{aligned}$$
(2) 分母の共役な複素数 $(1 + 2i)$ を分母・分子に掛けます。
$$\begin{aligned} \frac{2 + i}{1 – 2i} &= \frac{(2 + i)(1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} \\ &= \frac{2 + 4i + i + 2i^2}{1^2 – (2i)^2} \\ &= \frac{2 + 5i + 2(-1)}{1 – 4(-1)} \\ &= \frac{5i}{5} = i \end{aligned}$$
5. $i^n$ の周期性（4パターン繰り返し）
$i$ の累乗は、指数が大きくなっても必ず以下の4つの値を周期的に繰り返します。
$$\begin{aligned} i^1 &= i \\ i^2 &= -1 \\ i^3 &= i^2 \cdot i = -i \\ i^4 &= (i^2)^2 = (-1)^2 = 1 \\ i^5 &= i^4 \cdot i = i \quad (\text{元に戻る！}) \end{aligned}$$
指数の数字を 4 で割った余り を確認することで、一瞬で値を求めることができます。
- 割り切れる（余り0）$\rightarrow 1$
- 余り1 $\rightarrow i$
- 余り2 $\rightarrow -1$
- 余り3 $\rightarrow -i$
例：$i^{50}$ の値を求める
$50 \div 4 = 12 \text{ 余り } 2$ なので、
$$i^{50} = (i^4)^{12} \cdot i^2 = 1^{12} \cdot (-1) = -1$$
6. まとめ
- $i^2 = -1$ の置き換えを絶対忘れない
- 虚部は $bi$ ではなく $b$（数部分のみ）
- 分母の実数化には共役な複素数 $a-bi$ を掛ける
- $i^n$ は 4周期（$i, -1, -i, 1$）で考える
次回は、この複素数を使って2次方程式の解を拡張していきます！
教育サイトアフリエイトPR
- 安さ＆予備校級の講義動画なら 👉 [スタディサプリ高校講座]
- 定期テスト＆推薦入試対策なら 👉 [進研ゼミ高校講座]
- 難関大突破＆記述・添削なら 👉 [Ｚ会の通信教育]
コメント