高校数学Ⅱの「式と証明」で最初に学習するのが3次式の展開と因数分解です。数学Ⅰで扱った2次式に比べて公式の項数が増え、プラスとマイナスの符号でミスをしやすくなります。
この記事では、3次式の公式をスムーズに使いこなし、確実に計算力をつけるためのポイントを解説します！
1. 3次式の展開公式
まずは展開（カッコを外す計算）の基本公式4つです。
$$\begin{aligned} 1. & \quad (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ 2. & \quad (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \\ 3. & \quad (a+b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3 \\ 4. & \quad (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3 \end{aligned}$$
符号の覚え方のコツ
- $(a-b)^3$ の場合: 符号が「$+ , – , + , -$」と交互に現れます。$b$ の次数に着目すると、$b$ の奇数乗（$b^1, b^3$）の項にマイナスがつきます。
- $(a+b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3$ の場合: 最初のカッコ $(a+b)$ の符号と、右辺の $a^3+b^3$ の符号が一致します。真ん中の項 $-ab$ のみ逆の符号になります。
2. 実践問題（展開）
問題
次の式を展開せよ。
(1) $(2x – 3)^3$
(2) $(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$
【解答例】
(1) 公式 $(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$ において、$a = 2x, b = 3$ と置きます。
$$\begin{aligned} (2x – 3)^3 &= (2x)^3 – 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2x) \cdot 3^2 – 3^3 \\ &= 8x^3 – 36x^2 + 54x – 27 \end{aligned}$$
(2) 公式 $(a+b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3$ において、$a = x, b = 2y$ と置きます。
$$\begin{aligned} (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) &= x^3 + (2y)^3 \\ &= x^3 + 8y^3 \end{aligned}$$
3. 3次式の因数分解公式
因数分解は、展開公式の左右を入れ替えたものです。
$$\begin{aligned} 1. & \quad a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \\ 2. & \quad a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \end{aligned}$$
数値が「立方程（～の3乗）」になっているかどうかに注目しましょう。
よく出る3乗の数
- $8 = 2^3$
- $27 = 3^3$
- $64 = 4^3$
- $125 = 5^3$
4. 実践問題（因数分解）
問題
次の式を因数分解せよ。
(1) $x^3 – 27$
(2) $64a^3 + 125b^3$
【解答例】
(1) $27 = 3^3$ であるから、$a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を適用します。
$$x^3 – 27 = x^3 – 3^3 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9)$$
(2) $64a^3 = (4a)^3, 125b^3 = (5b)^3$ であるから、
$$\begin{aligned} 64a^3 + 125b^3 &= (4a)^3 + (5b)^3 \\ &= (4a + 5b)\left((4a)^2 – (4a)(5b) + (5b)^2\right) \\ &= (4a + 5b)(16a^2 – 20ab + 25b^2) \end{aligned}$$
5. まとめ
3次式の計算は「型のあてはめ」がすべてです。
- 数値を3乗の形（$2^3, 3^3$ など）に直す
- 符号の正負を丁寧に変形する
この手順を徹底して、ミスなく計算できるように練度を上げていきましょう！
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