「軌跡（きせき）」と「領域」は、どちらも条件を満たす「点の集まり」を図形として捉えるテーマです。正しい手順と記述の作法をマスターしましょう。
1. 軌跡の求め方（4つの手順）
軌跡問題とは、「与えられた条件を満たしながら動く点 $\text{P}$ が描く図形」を求める問題です。
定型手順
- 座標の設定：求めたい点 $\text{P}$ の座標を $(x, y)$ と置く。
- 条件の立式：問題文で指定された条件を $x, y$ の方程式で表す。
- 式の整理：方程式を整理し、知っている図形（直線や円など）の形を導く。
- 除外点の確認（十分性の確認）：導いた図形上のすべての点が条件を満たすか確認し、不適な点があれば「ただし点 $(\dots)$ を除く」と注記する。
2. 不等式の表す領域
不等式を満たす点 $(x, y)$ の存在する範囲を座標平面上に図示するルールです。
直線・曲線 $y = f(x)$ に関する領域
- $y > f(x) \iff$ 境界線 $y = f(x)$ の 上側
- $y < f(x) \iff$ 境界線 $y = f(x)$ の 下側
円 $(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$ に関する領域
- $(x – a)^2 + (y – b)^2 < r^2 \iff$ 円の 内部
- $(x – a)^2 + (y – b)^2 > r^2 \iff$ 円の 外部
3. 記述の注意点（境界線）
領域を図示して回答する際は、境界線を含むかどうかを必ず明記します。
- 不等号が $\leqq$ や $\geqq$ （イコールあり） $\longrightarrow$ 「境界線を含む」
- 不等号が $<$ や $>$ （イコールなし） $\longrightarrow$ 「境界線を含まない」
4. まとめ
- 軌跡は動点 $\text{P}(x, y)$ と置いて方程式を作り、最後に除外点がないか確認する。
- $y > f(x)$ は上側、$y < f(x)$ は下側。
- 答案の最後には「境界線を含む/含まない」を明記する。
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