微分法の締めくくりとして、区間付き関数の最大・最小問題と、入試・定期テストで差がつく「定数分離法（方程式の実数解の個数）」を解説します。
1. 区間における最大値・最小値
定義域（区間 $[a, b]$）が決められている関数 $f(x)$ の最大値・最小値を求めるときは、「極値の値」と「区間の端点（両端）の値 $f(a), f(b)$」をすべて比較します。
手順
- 微分して増減表を作成する（指定された区間の範囲内のみ描けばOK）。
- 極値と両端の値 $f(a), f(b)$ を求める。
- 一番大きい値が最大値、一番小さい値が最小値となる。
2. 方程式への応用（定数分離法）
方程式 $f(x) = a$ （定数 $a$ が分離された形）の実数解の個数を求める問題は、グラフの共有点の個数に読み替えて解きます。
$$\text{方程式 } f(x) = a \text{ の実数解の個数} \quad \iff \quad \begin{cases} y = f(x) \text{ のグラフ} \\ y = a \text{ （真横の直線）} \end{cases} \text{ の共有点の個数}$$
例題
3次方程式 $x^3 – 3x – a = 0$ が異なる3つの実数解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
【解答】
定数 $a$ を右辺に分離します： $x^3 – 3x = a$
$f(x) = x^3 – 3x$ と置くと、前項（6-3）の解説より、$y = f(x)$ は $x = -1$ で極大値 $2$、$x = 1$ で極小値 $-2$ をとります。
真横の直線 $y = a$ が、この3次関数のグラフと3点で交わるための条件は、直線 $y = a$ が極小値と極大値の間を通ることです。
したがって、求める $a$ の範囲は $-2 < a < 2$ です。
3. 不等式への応用
区間内で不等式 $f(x) \geqq 0$ が常に成り立つことを証明するには、「その区間における $f(x)$ の最小値 $\geqq 0$」 であることを示せば十分です。
4. まとめ
- 最大・最小問題は「極値」と「両端の値」を比較する。
- 方程式の実数解の個数は定数分離（$f(x) = a$）してグラフの交点数で考える。
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