「数列」という単元に入って、最初に学習するのが「等差数列（とうさせいれつ）」です。
一見すると難しそうな名前がついていますが、仕組みはとてもシンプル！「一定の数を足し続けていく数字の並び」のことです。
この記事では、等差数列の基本概念から、テストで必須となる「一般項の公式」の導き方、実際の例題の解き方まで分かりやすく解説します！
1. 等差数列ってなに？（基本の意味）
等差数列とは、「隣り合う項の差が常に一定である数列」のことです。
つまり、「同じ数を順番に足していった数字の並び」と考えればOKです！
例えば、次の数字の並びを見てみましょう。
$$3, \ 7, \ 11, \ 15, \ 19, \ \dots$$
この数列は、最初の数に $+4$ ずつ足して次の数を作っていますよね。
このように、隣り合う数の引き算（差）をとると、どこを切っても常に $7 – 3 = 4$, $11 – 7 = 4$ と差が一定になっています。
このとき、各用語は次のように呼ばれます。
- 初項（しょこう）： 数列の最初の数（上の例では $3$）
- 公差（こうさ）： 足し合わせている一定の差（上の例では $4$）
- 第 $n$ 項（だいえぬこう）： 上から順に数えて $n$ 番目の数
2. 一般項の公式と導き方
数列の $n$ 番目の数を $n$ の式で表したものを「一般項（いっぱんこう）$a_n$」と呼びます。
一般項が分かれば、100番目の数（$a_{100}$）や1000番目の数（ $a_{1000}$）も一発で計算できるようになります！
等差数列の一般項の公式
初項を $a$、公差を $d$ とするとき、第 $n$ 項（一般項） $a_n$ は次の公式で表されます。
$$\Large a_n = a + (n – 1)d$$
なぜ $(n – 1)$ なのか？（公式の導き方）
「なんで $n$ ではなく $(n – 1)$ を掛けるの？」と疑問に思う人も多いポイントです。
具体的に順番を追いかけてみましょう！
- 1番目（$a_1$）： $a$（公差 $d$ を加えた回数：$0$ 回）
- 2番目（$a_2$）： $a + d$（公差 $d$ を加えた回数：$1$ 回）
- 3番目（$a_3$）： $a + d + d = a + 2d$（公差 $d$ を加えた回数：$2$ 回）
- 4番目（$a_4$）： $a + 3d$（公差 $d$ を加えた回数：$3$ 回）
よく見ると、「 $n$ 番目の数にたどり着くまでに、公差 $d$ を足した回数は $(n – 1)$ 回」になっていますよね！
だから、初項 $a$ に公差 $d$ を $(n – 1)$ 回掛けたものを足す、つまり $a + (n – 1)d$ となるわけです。
3. 例題で解き方をマスターしよう！
それでは、実際のテスト形式の問題で公式の使い方を練習しましょう。
例題
【問題】
初項が $5$、公差が $3$ である等差数列 $\{a_n\}$ について、次の問いに答えよ。
- 一般項 $a_n$ を求めよ。
- 第 $20$ 項 $a_{20}$ を求めよ。
【解答・解説】
1. 一般項 $a_n$ を求める
初項 $a = 5$、公差 $d = 3$ を公式 $a_n = a + (n – 1)d$ に代入します。
$$a_n = 5 + (n – 1) \cdot 3$$
かっこを展開して整理します。
$$a_n = 5 + 3n – 3$$
$$\mathbf{a_n = 3n + 2}$$
💡 検算のコツ：
出来上がった $a_n = 3n + 2$ に $n = 1$ を代入してみましょう。
$3(1) + 2 = 5$ となり、初項の $5$ と一致するので計算ミスがないことが確認できます！
2. 第 $20$ 項 $a_{20}$ を求める
先ほど求めた一般項 $a_n = 3n + 2$ の $n$ に $20$ を代入します。
$$a_{20} = 3 \times 20 + 2$$
$$a_{20} = 60 + 2 = \mathbf{62}$$
4. まとめ
今回は「等差数列の基本と一般項」について解説しました。
- 等差数列： 一定の数（公差 $d$）を足し続けていく数列
- 一般項の公式： $a_n = a + (n – 1)d$ （初項 $a$、公差 $d$）
- 解法のコツ： 公式に代入して展開整理したあと、$n = 1$ を入れて初項と一致するか検算する！
等差数列は数列全体の基礎となる超重要テーマです。公式の仕組み（なぜ $n-1$ になるのか）をしっかり理解して、確実に得点源にしていきましょう！
次回は、掛け算で増えていく数列「【数学B】1-2: 等比数列の基本と一般項を分かりやすく解説！」をお届けします！
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