数列の基本（一般項）をマスターしたら、次は「初項から第 $n$ 項までを全部足し合わせた『和（Sum）』」を求める問題にチャレンジしましょう！
数列の和を表す記号には $S_n$（エス・エヌ）が使われます（$S$ は Sum の頭文字）。
この記事では、等差数列の和と等比数列の和、それぞれの「公式の形・覚え方のコツ」から例題の解き方まで分かりやすく解説します！
1. 等差数列の和の公式
等差数列の和 $S_n$ には、与えられている条件に合わせて使い分ける 2つの公式 があります。
初項を $a$、公差を $d$、末項（最後の項）を $l$、項数を $n$ とします。
公式①：初項 $a$ と末項 $l$ が分かっているとき
$$\Large S_n = \frac{1}{2}n(a + l)$$
💡 覚え方のコツ（台形の面積！）
「（上底 ＋ 下底）$\times$ 高さ $\div 2$」 と全く同じ形です！
「$\frac{1}{2} \times \text{項数} \times (\text{初項} + \text{末項})$」 と声に出して覚えましょう。
公式②：初項 $a$ と公差 $d$ が分かっているとき
末項 $l$ の場所に、一般項の公式 $l = a + (n – 1)d$ を代入すると、次の形になります。
$$\Large S_n = \frac{1}{2}n \{2a + (n – 1)d\}$$
2. 等比数列の和の公式
等比数列の和 $S_n$ は、公比 $r$ が $1$ かどうかで公式が分かれます。
初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とします。
公比 $r \neq 1$ のとき（通常パターン）
分母がマイナスにならないよう、公比 $r$ の大きさに合わせて 2通りの書き方を使い分けます（中身は全く同じです）。
- $r < 1$ のとき（公比が $1$ より小さい・負のとき使いやすい）$$\Large S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$$
- $r > 1$ のとき（公比が $1$ より大きいとき使いやすい）$$\Large S_n = \frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$$
⚠️ 超重要注意点！
分子の指数は $r^n$（$n$ 乗） です！
一般項の公式 $a \cdot r^{n-1}$ の $(n-1)$ 乗とごちゃ混ぜになりやすいので、絶対に注意してください！
公比 $r = 1$ のとき
公比が $1$ ということは、「$a, a, a, \dots, a$」と同じ数 $a$ が $n$ 個並んでいるだけなので、
$$S_n = na$$
となります（テストで問われることは稀ですが、条件分けの記述で意識しておきましょう）。
3. 例題で計算手順をマスター！
実際のテスト形式の問題で公式の使い方を練習しましょう。
例題1【等差数列の和】
【問題】
初項 $3$、公差 $4$ の等差数列の初項から第 $10$ 項までの和 $S_{10}$ を求めよ。
【解答・解説】
初項 $a = 3$、公差 $d = 4$、項数 $n = 10$ を等差数列の和の公式②に代入します。
$$S_{10} = \frac{1}{2} \times 10 \times \{2 \times 3 + (10 – 1) \times 4\}$$
$$S_{10} = 5 \times \{6 + 9 \times 4\}$$
$$S_{10} = 5 \times \{6 + 36\}$$
$$S_{10} = 5 \times 42 = \mathbf{210}$$
例題2【等比数列の和】
【問題】
初項 $2$、公比 $3$ の等比数列の初項から第 $5$ 項までの和 $S_5$ を求めよ。
【解答・解説】
公比 $r = 3 > 1$ なので、$\frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$ の公式を使います。
初項 $a = 2$、公比 $r = 3$、項数 $n = 5$ を代入します。
$$S_5 = \frac{2(3^5 – 1)}{3 – 1}$$
分母は $3 – 1 = 2$ となり、分子の $2$ と約分して消えます。
$$S_5 = \frac{2(243 – 1)}{2} = 243 – 1 = \mathbf{242}$$
4. まとめ
今回は「等差数列・等比数列の和」について解説しました。
- 等差数列の和： $\frac{1}{2} \times \text{項数} \times (\text{初項} + \text{末項})$ または $\frac{1}{2}n\{2a + (n-1)d\}$
- 等比数列の和： $\frac{a(r^n – 1)}{r – 1}$ または $\frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$
- 引っ掛け注意： 等比数列の和の分子は $r^n$（$n$ 乗）！（一般項の $n-1$ と混同しない）
和の公式が使えるようになると、数列の計算力が一気にアップします。形をしっかり覚えて繰り返し練習していきましょう！
次回は、数列の和をスタイリッシュに表す記号「【数学B】1-4: 和の記号 Σ（シグマ）の基本と計算ルールを分かりやすく解説！」をお届けします！
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