前回学んだ「等差数列」が「足し算で増えていく数列」だったのに対し、今回学習する「等比数列（とうひせいれつ）」は「掛け算で増えていく（または減っていく）数列」です。
ネズミ算のように一気に大きな数字へ化ける面白さがある一方で、計算ミスが起きやすいテーマでもあります。
この記事では、等比数列の基本概念から、テスト必須の「一般項の公式」の導き方、実際の例題の解き方まで分かりやすく解説します！
1. 等比数列ってなに？（基本の意味）
等比数列とは、「隣り合う項の比が常に一定である数列」のことです。
もっと簡単に言うと、「同じ数を順番に掛けていった数字の並び」です！
例えば、次の数字の並びを見てみましょう。
2, 6, 18, 54, 162, …
この数列は、最初の数に ×3 ずつ掛けて次の数を作っていますよね。
このように、隣り合う数の割り算（比）をとると、どこを切っても常に 26=3, 618=3 と比が一定になっています。
このとき、各用語は次のように呼ばれます。
- 初項（しょこう）： 数列の最初の数（上の例では 2）
- 公比（こうひ）： 掛け合わせている一定の比（上の例では 3）
- 第 n 項（だいえぬこう）： 上から順に数えて n 番目の数
2. 一般項の公式と導き方
等比数列の n 番目の数（一般項 an）を求める公式を確認しましょう。
等比数列の一般項の公式
初項を a、公比を r とするとき、第 n 項（一般項） an は次の公式で表されます。
an=a⋅rn−1
なぜ指数が (n−1) になるのか？（公式の導き方）
等差数列のときと同じように、具体的に順番を追いかけてみましょう！
- 1番目（a1）： a（公比 r を掛けた回数：0 回 ➔ r0=1）
- 2番目（a2）： a⋅r（公比 r を掛けた回数：1 回 ➔ r1）
- 3番目（a3）： a⋅r⋅r=a⋅r2（公比 r を掛けた回数：2 回）
- 4番目（a4）： a⋅r3（公比 r を掛けた回数：3 回）
よく見ると、「 n 番目の数にたどり着くまでに、公比 r を掛けた回数は (n−1) 回」になっていますよね！
だから、初項 a に公比 r の (n−1) 乗を掛けた形、つまり a⋅rn−1 になります。
3. 例題で解き方をマスターしよう！
実際のテスト形式の問題で公式の使い方をマスターしましょう。
例題
【問題】
初項が 3、公比が −2 である等比数列 {an} について、次の問いに答えよ。
- 一般項 an を求めよ。
- 第 6 項 a6 を求めよ。
【解答・解説】
1. 一般項 an を求める
初項 a=3、公比 r=−2 を公式 an=a⋅rn−1 に代入します。
an=3⋅(−2)n−1
⚠️ 超重要注意点！
公比がマイナスのときは、必ずカッコ (−2) をつけて記述してください！
カッコがない −2n−1 だと、「2n−1 にマイナスをつけたもの」という意味になり、全く別の計算になってしまいます。
また、3⋅(−2)n−1 を 3×(−2)=−6 として −6n−1 にするのは絶対NG です！（指数のルール上、掛け算を先にしてはいけません）
2. 第 6 項 a6 を求める
先ほど求めた一般項 an=3⋅(−2)n−1 の n に 6 を代入します。
a6=3⋅(−2)6−1
a6=3⋅(−2)5
(−2)5=−32 なので、
a6=3×(−32)=−96
4. まとめ
今回は「等比数列の基本と一般項」について解説しました。
- 等比数列： 一定の数（公比 r）を掛け続けていく数列
- 一般項の公式： an=a⋅rn−1 （初項 a、公比 r）
- 解法のコツ： 公比が負の数や分数のときは、カッコをつけて代入する！勝手に初項と掛け合わせない！
符号がプラス・マイナスと交互に入れ替わる問題など、等比数列は引っ掛けポイントが多い単元です。カッコの付け忘れに注意して確実に解けるようにしましょう！
次回は、等差数列・等比数列の合計を求める「【数学B】1-3: 数列の和（等差数列・等比数列の和）を分かりやすく解説！」をお届けします！
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