数学Ⅱで「虚数 $i$（$i^2 = -1$）」を学んだときは、方程式の解として抽象的な存在だった複素数。
数学Cの「複素数平面（ガウス平面）」では、この複素数を座標平面上の「点」や「ベクトル」として視覚的に捉え直すことで、図形問題や方程式の解法を劇的にスッキリさせます。
この記事では、複素数平面の基本座標の捉え方から、絶対値・偏角・共役複素数の意味と計算のコツをわかりやすく解説します！
1. 複素数平面（ガウス平面）とは？
通常の座標平面では $x$ 軸と $y$ 軸に実数を対応させますが、複素数平面では次のように軸を割り当てます。
- $x$ 軸（実軸）： 複素数の「実部」を表す軸
- $y$ 軸（虚軸）： 複素数の「虚部（$i$ の係数）」を表す軸
これにより、複素数 $z = x + iy$ は、座標平面上の点 $P(x, y)$ または原点からの位置ベクトル $\vec{OP}$ と完全に1対1で対応することになります。
2. 共役複素数（きょうやくふくそすう）の図形的な意味
複素数 $z = x + iy$ に対して、虚部の符号を反転させた $z = x – iy$ を共役複素数（$\bar{z}$）と呼びます。
図形的な位置づけ
- $z$ と $\bar{z}$ は、「実軸（$x$ 軸）に関して対称な点」になります。
よく使う重要性質
- $z + \bar{z} = 2x$ （実数になる）
- $z\bar{z} = x^2 + y^2$ （実数になり、後述の絶対値の2乗と一致する）
- $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$
3. 複素数の「絶対値」とは？（原点からの距離）
実数の絶対値は「数直線上の原点からの距離」でしたが、複素数平面における絶対値 $\vert{}z\vert{}$ も全く同じ意味を持ちます。
絶対値の公式
複素数 $z = x + iy$ の絶対値 $\vert{}z\vert{}$ は、三平方の定理より次のように定義されます。
$$\vert{}z\vert{} = \sqrt{x^2 + y^2}$$
これは、複素数平面上で「原点 $O$ から点 $z$ までの距離」を表しています。また、先ほどの共役複素数を使うと $\vert{}z\vert{}^2 = z\bar{z}$ と表せるのも超重要テクニックです。
4. 偏角（へんかく：$\arg z$）とは？
複素数 $z$ を原点からの位置ベクトルと見たとき、「実軸の正の向きから反時計回りに測った回転角度」をその複素数の偏角（argument）と呼び、$\arg z$ で表します。
- $z = x + iy$ のとき、$\cos\theta = \frac{x}{\vert{}z\vert{}}, \ \sin\theta = \frac{y}{\vert{}z\vert{}}$ となります。
- この絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を組み合わせた $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ という表現を「極形式（きょくけいしき）」と呼び、掛け算や回転移動を考えるときに最強の武器になります。
5. まとめ：複素数平面の第一歩の鉄則
- 複素数 $z = x + iy$ は、平面上の「点 $(x, y)$」または「位置ベクトル」として視覚化する。
- 共役複素数 $\bar{z}$ は「実軸対称」、絶対値 $\vert{}z\vert{}$ は「原点からの距離（$\sqrt{x^2+y^2}$）」。
- 偏角 $\theta$ は「実軸からの回転角度」を表し、次の極形式・回転移動の議論へとつながる。
ここがクリアできたら、次は複素数のかけ算・割り算の幾何学的意味である「ド・モアブルの定理と回転移動」へと進みましょう！
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