【数学Ⅲ】3-2-5 曲線の長さの公式と計算のコツ｜三平方の定理から導く積分応用

数学Ⅲの積分法の最後を飾るテーマが、グラフが描く「曲線の長さ（あるいは道のり）」を求める問題です。

直線と違ってグニャグニャ曲がった線の長さをどうやって測るのか？――その発想の原点は、中学校で習った「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」にあります。

この記事では、直交座標およびパラメータ表示における曲線の長さの公式と、入試の計算で必ず知っておくべき「ルートを外すテクニック」をわかりやすく解説します！

1. 曲線の長さを求めるアイデア（微小な直角三角形の集まり）

曲線の長さ $L$ を求めるときは、曲線のごく小さな一歩（微小な区間）を「非常に小さな直角三角形の斜辺」とみなして足し合わせる（積分する）という発想をします。

• $x$ 方向のわずかな変化を $dx$
• $y$ 方向のわずかな変化を $dy$

とすると、斜辺の長さ $ds$ は三平方の定理より $ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$ と表せます。これをスタートからゴールまで積分するのが基本方針です。

2. 曲線の長さの公式一覧

① 直交座標 $y = f(x)$ の場合

関数 $y = f(x)$ が $a \le x \le b$ の範囲で滑らかなとき、その曲線の長さ $L$ は次式で求められます。

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} dx$$

② パラメータ表示（媒介変数 $t$）の場合

$x = f(t), \ y = g(t)$ が $t_1 \le t \le t_2$ の範囲で表されるとき：

$$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$$

⚠️ 入試における最大のポイント 曲線の長さの計算では必ず 「$\sqrt{\quad}$ （ルート）」 が出現します。 入試問題の多くは、ルートの中身がうまく 「(〇〇)$^2$ の形に因数分解できて、ルートが綺麗に外れる」 ように作られています！もしルートが外れない式になったときは、計算ミスを疑うか、式変形を見直すサインです

3. 実戦演習：実際に曲線の長さを計算してみよう

【問題】

曲線 $y = \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$ （$0 \le x \le 8$）の長さを求めよ。

【解説・解答】

1. 導関数 $y’$ を求める$y = \frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$ より、$$y’ = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x}$$
2. 公式の $1 + (y’)^2$ を計算する$$1 + (y’)^2 = 1 + \left( \frac{1}{2}\sqrt{x} \right)^2 = 1 + \frac{1}{4}x$$
3. ルートの中を整理して積分する$$L = \int_{0}^{8} \sqrt{1 + \frac{1}{4}x} dx$$$1 + \frac{1}{4}x = t$ と置換するか、そのまま合成関数の積分の要領で計算します。$$L = \left[ \frac{4}{3} \left( 1 + \frac{1}{4}x \right)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{8}$$
4. 数値を代入して計算する
   • $x = 8$ のとき：$\frac{4}{3} \left( 1 + \frac{8}{4} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}(3)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
   • $x = 0$ のとき：$\frac{4}{3} (1)^{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}$
   • 求める長さは、$(4\sqrt{3}) – \frac{4}{3} = \mathbf{4\sqrt{3} – \frac{4}{3}}$

4. まとめ：第3章（積分法）の総括

1. 曲線の長さの基本は「三平方の定理」をベースにした $\int \sqrt{1 + (y’)^2} dx$
2. パラメータ表示の場合は、それぞれの微分を二乗して足したものの平方根を積分する。
3. 「ルートの中身を平方完成・因数分解して外す」のがこの単元の最大の肝。
4. これで「第3章：積分法」の全単元（不定・定積分、置換・部分積分、定積分関数、面積、体積、曲線の長さ）がすべて完了！

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