数学Ⅲの微分で「どうやっても計算が長すぎる…」「底も指数も変数になっていて手が出せない…」というときに劇的な効果を発揮する秘密兵器が、この「対数微分法（たいすうびぶんほう）」です。
この記事では、対数微分法の仕組みから、どんなとき（3つのパターン）に使うべきか、具体的な計算手順までわかりやすく解説します！
1. 対数微分法とは？（なぜ対数をとるのか）
対数微分法とは、複雑な関数 $y = f(x)$ を微分するときに、あらかじめ両辺の自然対数（絶対値の対数）をとってから微分するというテクニックです。
対数の性質（積は和に、商は差に、累乗は係数に変わる）を利用することで、面倒な積の微分や商の微分を、ただの足し算・引き算の微分に簡略化することができます。
基本の変形手順
- 両辺の絶対値の自然対数をとる：$\ln \vert{}y\vert{} = \ln \vert{}f(x)\vert{}$
- 陰関数の要領で、両辺を $x$ で微分する：$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (\ln \vert{}f(x)\vert{})’$
- 両辺に $y$ を掛けて、$\frac{dy}{dx}$ の形にする：$\frac{dy}{dx} = y \cdot (\ln \vert{}f(x)\vert{})’$
2. 対数微分法を使うべき「3つのパターン」
入試で対数微分法が必須になるのは、主に次の3つのようなケースです。
- 多くの積や商が入り組んだ複雑な分数式（そのまま商の微分をすると計算ミスが爆発するケース）
- 累乗のなかにさらに変数がある形
- 底も指数も両方とも変数である関数（例：$y = x^x$）
3. 実戦演習：$y = x^x$ の微分を解いてみよう
底にも指数にも変数 $x$ が含まれているため、通常の微分公式（累乗の公式も、指数関数の公式も）はそのままでは使えません。ここで対数微分法の出番です。
【問題】
次の関数を微分せよ。
$$y = x^x \quad (x > 0)$$
【解説・解答】
- 両辺の自然対数をとる$$\ln y = \ln (x^x)$$対数の性質（指数を前に出す）より、$$\ln y = x \ln x$$
- 両辺を $x$ で微分する左辺は合成関数の微分（$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$）、右辺は積の微分公式を使います。$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (x)’ \ln x + x (\ln x)’$$$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$$$$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$
- 両辺に $y$ を掛けて $y’$ の形に戻す$$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$$$y = x^x$ を代入して完成です。$$\frac{dy}{dx} = \mathbf{x^x (\ln x + 1)}$$
4. まとめ：対数微分法の鉄則
- 「積・商が複雑すぎる式」や「底も指数も $x$ の式」を見たら、真っ先に「両辺の対数をとる」を疑う。
- 対数の性質（$\ln(AB) = \ln A + \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$）で式をバラバラにしてから微分する。
- 微分したあとに、最後に元の関数 $y$ を掛け戻すのを忘れないようにする。
ここがクリアできたら、次は「2-1. 微分法の基本」の最後の項目である「三角・指数・対数関数の導関数一覧まとめ」へと進みましょう！
💡 数学Ⅲの基礎をさらに固めたい方へ
「学校の授業だけだと少し不安…」「独学でスムーズに数3を進めたい」という方は
教育サイトアフリエイトPR
- 予備校級の講義動画なら 👉 [スタディサプリ高校講座]
- 定期テスト＆推薦入試対策なら 👉 [進研ゼミ高校講座]
- 難関大突破＆記述・添削なら 👉 [Ｚ会の通信教育]
コメント