数学Ⅲの微分法では、これまでに学んだ定義や合成関数の仕組みをベースにして、様々な関数の導関数を求めていきます。
テストや入試の計算で「あれ、どっちにマイナスが付くんだっけ？」と迷わないために、ここで一度すべての基本公式をスッキリ整理しておきましょう！
この記事では、三角関数・指数関数・対数関数の導関数を一覧でまとめ、確実に覚えるためのコツを解説します。
1. 三角関数の導関数公式一覧
まずは数3の微分の基本となる三角関数の公式です。（※微分の計算では、角度の単位は必ずラジアン（弧度法）であることに注意してください）
| 関数 f(x) | 導関数 f′(x) | 覚え方のポイント |
| $\sin x$ | $\cos x$ | そのままコサインに変わる |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | コ（$\cos$）がつくと微分したときにマイナスが飛び出す！ |
| $\tan x$ | $\frac{1}{\cos^2 x} \ ( = 1 + \tan^2 x)$ | 商の微分から導かれる形 |
💡 符号のミスのを防ぐ最強のコツ
三角関数の微分で最も多いミスが「マイナスの付け忘れ」です。
名前に $\text{c}$ がつくもの（$\cos, \cot, \csc$ 等）を微分すると、必ず結果にマイナスが付く」という大原則を覚えておくと、迷わなくなります！
2. 指数関数の導関数公式一覧
自然対数の底 $e$ をベースにした指数関数の微分です。特に $e^x$ は「微分しても形の変わらない最強の関数」です。
| 関数 f(x) | 導関数 f′(x) | 備考 |
| $e^x$ | $e^x$ | 微分してもそのまま！ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | 一般の底の場合は $\ln a$ が掛かる |
3. 対数関数の導関数公式一覧
対数関数の微分では、真数が正である必要があるため絶対値記号が絡むことがあります。
| 関数 f(x) | 導関数 f′(x) | 備考 |
| $\ln x$ （または $\ln \vert{}x\vert{}$） | $\frac{1}{x}$ | 自然対数の微分は逆数になる |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ | 一般の底の場合は分母に $\ln a$ が入る |
4. 応用：合成関数が絡んだときの公式（チェーンルールの適用）
実際の入試では、上の公式そのままではなく、中身が複雑になった「合成関数」の形として登場します。先ほどお伝えした「外微分×内微分」のルールをセットで適用しましょう！
- $(\sin f(x))’ = \cos f(x) \cdot f'(x)$
- $(\cos f(x))’ = -\sin f(x) \cdot f'(x)$
- $(e^{f(x)})’ = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
- $(\ln f(x))’ = \frac{f'(x)}{f(x)}$
5. まとめ：微分公式を武器にするために
- 三角・指数・対数の基本公式は、定義に戻らなくても一瞬で出てくるレベルまで暗記する。
- 「名前に $\text{c}$ がつくものを微分するとマイナス」のルールで符号ミスを鉄壁に防ぐ。
- 実際の計算では単体の公式だけでなく、必ず合成関数の微分（内微分の掛け算）がセットで必要になることを意識する。
これで「2-1. 微分法の基本」のセクションがすべて完了しました！基礎的な計算力がしっかりと固まったはずです。
次はいよいよ、求めた導関数を使ってグラフの性質を丸裸にする「2-2. 微分の応用（接線、増減、凹凸、グラフ描画など）」へと進みましょう！
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