数学Ⅲの微分計算で、少し特殊なアプローチが必要になるのが「逆関数の微分」と「陰関数の微分」です。
「直接 $y = \dots$ の形に直せない」「逆関数を求めるのが面倒くさい」というときに、このテクニックを知っていると計算が劇的にラクになります。
この記事では、それぞれの公式の仕組みと、入試で使える実践的な計算手順をわかりやすく解説します！
1. 逆関数の微分法
関数 $y = f(x)$ の逆関数 $x = g(y)$ において、元の関数の導関数 $f'(x)$ と逆関数の導関数 $g'(y)$ の間には、非常にきれいな逆数の関係が成り立ちます。
公式
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
（あるいは、記号を変えて $f^{-1}(x)$ の微分として $\left(f^{-1}(x)\right)’ = \frac{1}{f'(y)}$ と書かれることもあります）
なぜこの公式が便利なのか？
例えば $y = \ln x$ の逆関数は $x = e^y$ です。$x = e^y$ を $y$ で微分するのは簡単（$\frac{dx}{dy} = e^y$）なので、その逆数を取ればすぐに $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$ と導き出すことができます。
2. 陰関数（いんかんすう）の微分法
これまでは $y = f(x)$ という「陽関数（$y$ が $x$ の式として露わになっている形）」を扱ってきましたが、円の方程式 $x^2 + y^2 = r^2$ のように、$x$ と $y$ が混ざり合った式を陰関数と呼びます。
これを $x$ で微分するときの鉄則は、「$y$ を $x$ の関数（合成関数の塊）とみなして、チェーンルールを適用する」ことです。
【例題】円の方程式の接線の傾きを求める
円 $x^2 + y^2 = r^2$ の上にある点 $(x_1, y_1)$ における接線の傾き（$\frac{dy}{dx}$）を求めよ。
【解説・解答】
方程式の両辺を $x$ で微分します。
- $x^2$ を微分 $\to 2x$
- $y^2$ を微分 $\to$ （$y$ を合成関数とみて）$2y \cdot \frac{dy}{dx}$
- 右辺 $r^2$（定数）を微分 $\to 0$
したがって、
$$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$
これを $\frac{dy}{dx}$ について解きます。
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
点 $(x_1, y_1)$ における傾きは、代入して $-\frac{x_1}{y_1}$ と一発で求めることができます！
3. まとめ：逆関数・陰関数微分の鉄則
- 逆関数の微分では、「$x$ について解いて $\frac{dx}{dy}$ を求めてから逆数にする」発想を持つ。
- 陰関数の微分では、$y$ を微分するときに必ず合成関数の要領で $\frac{dy}{dx}$（または $y’$）を掛け忘れないようにする。
- 円や楕円などの二次曲線でも、この陰関数の微分を使えば接線の方程式が瞬時に出せる。
ここがクリアできたら、次は複雑な式をスッキリ変形して解く「対数微分法（複雑な分数式・累乗の微分）」へと進みましょう！
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