【数学Ⅱ】5-4: 対数関数 $y = \log_a x$ のグラフと真数条件に注意する方程式・不等式

対数を含む関数 $y = \log_a x$（対数関数） のグラフと、間違えやすい対数方程式・不等式の解法を解説します。

1. 対数関数 $y = \log_a x$ のグラフ

対数関数 $y = \log_a x$ は、指数関数 $y = a^x$ の逆関数（直線 $y = x$ に関して対称）です。

① 底 $a > 1$ のとき（単調増加）

• $x$ が大きくなると $y$ も大きくなる（$x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 < \log_a x_2$）。

② 底

② 底 $0 < a < 1$ のとき（単調減少）

< a < 1$ のとき（単調減少）

• $x$ が大きくなると $y$ は小さくなる（$x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 > \log_a x_2$）。

共通する特徴

• 定義域は $x > 0$ （真数条件）。
• 必ず点 $(1, 0)$ と $(a, 1)$ を通る。
• $y$ 軸（直線 $x = 0$）が漸近線となる。

2. 対数方程式・不等式を解く鉄則手順

対数の問題では、計算を始める前に必ず「真数条件」を確認することが合格・減点回避の絶対ルールです。

解法の定型ステップ

1. 真数条件の確認：真数部分 $> 0$ の範囲を出す。（★最重要！）
2. 底を揃えて整理する：$\log_a f(x) = \log_a g(x)$ や $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ の形にする。
3. 真数同士を比較する：
   • 底 $a > 1$ のとき：不等号の向きは変わらない。
   • 底 $0 < a < 1$ のとき：不等号の向きが逆転する！
4. ステップ1の真数条件との共通範囲（重なる部分）を解とする。

3. 実践例題（対数不等式）

例題

不等式 $\log_2 (x – 1) < 3$ を解け。

【解答】

① 真数条件より、$x – 1 > 0 \implies x > 1$ … ①

② 右辺を底 $2$ の対数に直すと、$3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$

つまり、$\log_2 (x – 1) < \log_2 8$

③ 底 $2$ は $1$ より大きいので、真数を比較して、

$x – 1 < 8 \implies x < 9$ … ②

④ ①と②の共通範囲を求めて、

$1 < x < 9$

4. まとめ

1. 問題を見たら第一に真数条件（真数 $> 0$）を書き出す。
2. 底が $1$ より小さいときは不等号の向きを反転させる。
3. 最後に真数条件との共通範囲をとる。

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